Cálculo da área de uma região R delimitada por uma função f(x).

Historicamente a noção de integral brotou da necessidade de calcular áreas de figuras planas cujos contornos não são segmentos de reta. Vejamos o exemplo 1: Use retângulos para estimar a área sob a parábola f(x)=x² com x variando no intervalo [0, 1], a região parabólica S ilustrada pela construção 1. Instruções para obter o solicitado:        i.  Inserir no campo Função=x²    ii.  Marcar para obter a somas superior e inferior    iii.  Inserir para os valores a=0 e b=1 do intervalo [a, b] a ser calculada a região, bem como o n=14, ou seja, definir a partição do intervalo em quatorze subintervalos de mesma amplitude (Clicar no ícone AMPLIAR, do Geogebra, para uma melhor visualização dos retângulos inferiores e superiores). Em primeiro lugar aproximamos a região S por retângulos e depois tomamos o limite das áreas desses retângulos à medida que aumentamos o número de retângulos. É importante salientar que as retas x=0, x=1,e y=0 são delimitadoras da região sob o gráfico de f(x)=x². Obtemos como resultados aproximados para a soma inferior s=0,3 e superior S=0,37. Note que o controle deslizante n está configurado para até 100 partições do intervalo [a, b], se deslocamos o valor de n para 100 partições, as áreas inferior e superior, serão respectivamente 0,33 e 0,34, ou seja, se aproximará cada vez mais da área correta que é 1/3. Portanto o valor real da área A está compreendido no intervalo 0,33<A<0,34. Então é possível perceber que quanto maior o nº de partições, a área vai tender a área delimitada por f(x). Fica a curiosidade, porque afirmar que a área é 1/3? Será o nosso objeto de estudo. Para a região R do Exemplo 1, mostre que a soma das áreas dos retângulos aproximantes superiores tende a 1/3, ou seja,

Fica a curiosidade, porque afirmar que a área é 1/3? Será o nosso objeto de estudo.Solução: A_n é a soma das áreas dos n retângulos no exemplo 1. Cada retângulo tem largura 1/n, e as alturas são os valores da função f(x)=x² nos pontos 1/n, 2/n, 3/n,...., n/n; isto é, as alturas são (1/n)², (2/n)², (3/n)²,....,(n/n)².