Punt de Fermat per mètode iteratiu
Algoritme de Weiszfeld
Per trobar numèricament el punt de Fermat d'una piràmide de base triangular utilitzarem un article de Boris S. Mordukhovich i Nguyen Mau Nam anomenat "The Fermat-Torricelli Problem and Weiszfeld's Algorithm in the Light of Convex Analysis". El teniu adjuntat en el pdf del final d'aquesta pàgina.
Per utilitzar aquest mètode iteratiu, partirem d'un punt inicial qualsevol, i anirem calculant els següents punts a partir de la següent relació:
En l'article que us hem enllaçat demostra la convergència del mètode iteratiu per trobar el punt en qüestió.
Aquí cal tenir en compte que els són els diferents vèrtexs de la piràmide i que cada i són punts de l'espai amb 3 coordenades.
Per calcular-ho, obrirem el full de càlcul del GeoGebra i a la primera casella, l'A1, hi posarem el punt inicial. Podem posar un punt qualsevol en 3 coordenades.
Per calcular el següent punt, ens posarem a la cel·la de sota, l'A2 i posarem la següent fórmula, agafant com a punt inicial el que hi ha a la cel·la A1:
(A / abs(A1 - A) + B / abs(A1 - B) + C / abs(A1 - C) + D / abs(A1 - D)) / (1 / abs(A1 - A) + 1 / abs(A1 - B) + 1 / abs(A1 - C) + 1 / abs(A1 - D))
On tenim en compte que A, B, C i D són els vèrtexs del tetraedre.
Un cop tenim calculat el valor a la casella A2 a partir de l'A1, només ens cal arrossegar el quadradet de baix a la dreta de la cel·la A2, cap avall i anirà calculant els següents punts a partir de l'anterior seguint la fórmula que ens proposa l'algorisme de Weiszfeld. D'aquesta manera tant senzilla, tindrem ordenats els punts iteratius i s'aniran calculant els següents a partir dels anteriors.
