0702 A háromszög defektusa
Feladat:
Egy háromszög defektusának nevezzük a háromszög szögösszegének az egyenesszögtől való eltérését.
- Az euklideszi geometriában bármely háromszög defektusa nulla.
- a hiperbolikus geometriában bármely háromszög defektusa pozitív.
Megoldás:
Tükrözzük az ABC Δ α =CAB∢ szögét előbb a b=CA oldalra, majd a CA pontokhoz tartozó szakaszfelező merőlegesre. Az így kapott α' =ACB2∢ egybevágó α -val, egyik száruk közös, és ellentétes irányú, a másik száruk viszont ultrapárhuzamos egyenespárt alkot. Ezért most mellőzzük az α és α' szögpárra az euklideszi geometriában használatos váltószögek elnevezést.
Ugyanilyen szerkesztéssel illesszük a β =CAB∢ -et is a γ =ACB∢ mellé.
Kísérletképpen vegyük a háromszöget egyre kisebbnek az alapkör sugarához képest (Persze zoomolással elérhető, hogy a képernyőhöz képest ne lássunk kisebbnek.) Az így kapott háromszög defektusa egyre közelebb lesz a 0-hoz, maga a rajz pedig egyre jobban megközelíti az euklideszi geometriából jól ismert ábrát.
Megjegyzés:
A fenti szerkesztéshez lényegében a P-modell eljárásainak az első (abszolut geomeriai) eljárásait használtuk, a Hszög[ ] eljárásra csak a szögek kijelöléséhez volt szükségünk. (Bár ezzel előállítottuk a szögek mérőszámait is.)
Anélkül, hogy ezt szemléltetnünk kellene, könnyen tudnánk igazolni, hogy
- ha egy háromszöget az egyik csúcsára illeszkedő egyenessel másik két háromszögre bontunk, akkor a két keletkező háromszög defektusa egyenlő az eredeti háromszög defektusával.
- a hiperbolikus geometriában a háromszög területét a háromszög defektusával mérhetjük.
- A hiperbolikus síkban van legnagyobb területű háromszög.
- van olyan háromszög, amelynek a szögösszege az egyenesszög;
- bármely háromszögnél van nagyobb területű háromszög.