1110 Három kör
A feladat:
Legyen három, egymástól különböző pont A, B és C.
Szerkesszünk három, egymást páronként érintő kört (ciklust), amelyek érintési pontjai A, B és C!
- Ha két kör érinti egymást, akkor az érintési pontjuk illeszkedik a két kör középpontját összekötő egyenesre (a két kör centrálisára). és erre merőleges a két kör közös pontjába húzott érintő.
Megoldás az euklídeszi síkon:
Általános esetben - ha A, B, C egy kör három általános helyzetű pontja - e körnek az A, B, C pontokhoz tartozó érintőinek a metszéspontjai lesznek a keresett körök középpontjai.
Speciális esetben, ha a három pontra illeszkedő körnek valamely két pontja e kör szemközti pontpárja, akkor az ezekre illeszkedő kör egyenessé fajul. (Erről szólt az előző feladat.)
Még speciálisabb eset, ha A, B, C egy egyenesre illeszkedik. Ekkor a keresett körök az AB , BC , CA szakaszokhoz, mint átmérőkhöz tartozó körök lesznek.
Megjegyzések:
- A fenti megfogalmazásban szándékosan kerültük a Thalész tétel említését. Ugyanis (itt és most) magától érthetődő kérdés, hogy ugyanez a feladat miként tükröződik a P-modellen, illetve a gömbi geometriában, ahol - mint tudjuk - nem érvényes Thalész tétele.
- Nem tartozik szorosan a témához, de figyelmesebb olvasóinknak feltűnhetett, hogy a fenti appletben körlapokat rajzoltunk, amelyek közül a legnagyobb (amely bármelyik lehet) soha nem takarja el a másik kettőt. Kíváncsibb olvasóink az applet forrásfájljának a tanulmányozásával könnyen elsajátíthatják az alkalmazott "trükköt".
Megoldás a P-modellen:
Itt jóval összetettebbé válik a feladat, tekintettel arra, hogy
- a hiperbolikus geometriában három pontra kör, egyenes, paraciklus, vagy hiperciklus illeszkedhet.
Megoldás a gömbön:
A feladat megoldása alig tér el az előzőktől. A speciális esetek felvételénél kellett attól eltérő szerkesztési lépéseket alkalmazni. Itt is javasoljuk olvasóinknak az applet forrásfájljának az elemzését.