Carré d'une somme contre somme des carrés
Il peut sembler naturel d'écrire pour une somme de deux nombres a et b l'égalité suivante : (a + b)² = a² + b²
Pourtant, Batman lui-même ne semble pas être d'accord !
Nos excuses pour la violence de cette scène (à ne pas reproduire à la maison, elle a été dessinée par des professionnels).
Alors qui a raison ? Robin ou Batman ?
Dans la figure interactive ci-dessous, on décompose le nombre 10 en somme de deux nombres entiers.
Déplacer le point M pour visualiser les différentes décompositions possibles.
Arrive-t-il que l'égalité proposée par Robin soit vraie ?
Batman a raison !
Lorsque l'on écrit a² + b², il manque quelque chose... Et ce quelque chose est visible sur la figure ci-dessus : il faudrait ajouter l'aire des deux rectangles gris pour obtenir un total de 100.
Vérifier l'égalité de Batman :
(a + b)² = a² + 2 ab + b²
Vous avez sans doute démontré avec votre professeur que cette égalité est vraie pour n'importe quels nombres a et b (entiers ou pas, positifs ou négatifs).
Et on ne la nomme pas "l'égalité de Batman"
mais "la première identité remarquable" !