MÁXIMO Y MÍNIMO
Una de las aplicaciones más importantes de la derivada, tiene que ver con la determinación de los puntos extremos de una función en un intervalo dado. Es claro que, entre los valores que puede tomar una función cualquiera, puede existir uno que sea el mayor y otro que sea el menor. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua en un intervalo es ascendente en una parte de éste y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, diremos que ese punto es un PUNTO CRÍTICO MÁXIMO RELATIVO (máximo). Si sucede lo contrario, es decir que es descendente en alguna parte del intervalo y a partir de un punto determinado empieza a ascender, diremos que este punto es un PUNTO CRÍTICO MÍNIMO RELATIVO (mínimo). Una función puede tener uno, varios o ningún punto crítico. El más mayor de todos es el EXTREMO MÁXIMO ABSOLUTO y al más menor de todos lo llamamos PUNTO MÍNIMO EXTREMO.
Los puntos extremos se presentan en aquellos valores del dominio de la función para los cuales la derivada de la función es cero (0) o no existe.
Este recurso muestra la solución de un ejercicio típico en los cursos de Cálculo Diferencial, referente al cálculo de valores extremos.
Dado un trozo de alambre de longitud dada, se pide determinar cómo debe ser cortado en dos partes para construir un cuadrado con una de ellas y una circunferencia con el otro, de manera que la suma de las áreas sea
a) un mínimo
b) un máximo
Para trabajar con este recurso, lo primero que debes hacer es introducir un valor para la longitud del alambre (entre 0 y 80). Luego vas a mover el deslizador X, con el cual se va asignando un valor para la medida del corte. Con ese primer trozo, se construye el cuadrado y con el resto la circunferencia. En la vista derecha puedes observa la gráfica que se genera por los diferentes valores de X. Puedes determinar el valor de X, solicitado?
Cómo pudiste notar, la solución gráfica del problema cuenta con una parábola (función cuadrática) que abre hacia arriba lo cual garantiza la existencia de un valor mínimo ý por ser polinómica tiene otro extremo que es máximo