0201 A modell, a hiperbolikus geometria modellezése
Általában modellen olyan konstrukciót értünk, amely a vizsgálat szempontjából ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a vizsgálat tárgya. Ha például rajzolunk egy kört egy papírlapra, táblára, képernyőre, vagy akár a homokba, az a körnek, mint geometriai fogalomnak a modellje.
Jelen esetben kissé összetettebb a helyzet. A hiperbolikus síkot egy körlapon fogjuk modellezni,
amelyet a GeoGebra rajzlapján, a rajzlapot pedig a képernyőn jelenítjük meg. A modell matematikai hátterét egy lényegét tekintve középiskolai szintű fogalomkör, a körre vonatkozó inverzió biztosítja.
Az egyértelműség kedvéért – ha szükséges – a modellezett fogalom neve elé tett H betűvel fogjuk jelölni, ha az éppen egy hiperbolikus geometriai – a legtöbbször egyben abszolút geometriai – fogalom is.
A hiperbolikus síkgeometriának ezt a Henri Poincaré (1854-1912) nevéhez fűződő modelljét a továbbiakban nevezzük P-modellnek.
| A modellezett fogalom: | A modell (az euklideszi síkon): |
| H-Sík | Körlap (alapkör) |
| H-Pont | Az alapkör belső pontja |
| H-Egyenes | Az alapkört merőlegesen metsző körnek az alapkörbe eső köríve |
| H-Szakasz | A „H-egyenes” két pontja közé eső köríve |
| H-Tengelyes tükrözés | Egy „H-egyenesre”, vagy „H-szakaszra” vonatkozó inverzió |
A P-modell szemléletformáló ereje
A mindennapi iskolai gyakorlatban előforduló bármely euklideszi síkgeometriai rajz - azaz modell - nyilvánvalóan az euklideszi sík egy részét mutatja, ugyanakkor a P modellen maga az egész H-sík válik láthatóvá, ha a képernyőn megjelenítjük az egész alapkört.
Gondoljuk végig: hányszor hallottuk, hogy "Legyen adott egy kör... "! A "Mekkora legyen?" kérdés egy újabb kérdést ad fel: Mihez képest legyen - "mekkora"? A papírlapunkhoz, a képernyőhöz, a szobához, a Földhöz, a naprendszerhez, ... mérten legyen adott?
Az, hogy az egész H-egyenes láthatóvá válik számunkra, beleértve az alapkör határvonalát, eddig nem tapasztalt absztrakciós lehetőséget rejt magában. Olyat, amely nem csak arra alkalmas, hogy szemléletessé tegyük a hiperbolikus geometriát, hanem az eddigiektől eltérő módon szemlélhetjük mindazokat az iskolai geometriai összefüggéseket is, amelyek nem használják ki az euklideszi párhuzamossági axiómát.
Lényegében Bolyai János két geometriai rendszert dolgozott ki: egyrészt a párhuzamossági axiómát semmilyen formában nem használó abszolut geometriát, másrészt azt a hiperbolikus geometriának nevezett rendszert, amely az euklideszitől eltérő módon fogalmazza meg két egy síkban fekvő egyenes lehetséges kölcsönös helyzetét.
Bolyai azt is megmutatta, hogy az euklideszi geometria "határesete" az általa kidolgozott hiperbolikus geometriának. Hogy mennyire az, később tapasztalni fogják olvasóink: ha a GeoGebra rajzlapját alapos nagyításnak vetjük alá akkora képernyő látható részén a P-modell eszköztárával is az euklideszi rajzainkat elég jól megközelítő ábrákat kapunk. Szinte"észt re sem vesszük", hogy a P-modellen dolgozunk, épp úgy, mint ahogy egy szobából nem igen látszik, hogy egy gömb alakú bolygón élünk.
Másrészt viszont a P-modellen kapott ábráink többnyire alaposan eltérnek majd a megszokott rajzainktól, amely eddig nem tapasztalt absztrakciós lehetőségeket tár olvasóink elé.
Például e sorok írója kezdő tanár korában ezt a - talán jogos - kérdést kapta egyik tanítványától: "Miért kell bizonyítanunk, hogy az egyenlő szárú háromszög alapján fekvő szögek egyenlők? Hiszen nem tudunk olyan egyenlő szárú háromszöget rajzolni, amelyiken ez nem így lenne."
E program alkalmazása során várhatóan egyre határozottabban, jobban fog látszani a modellezett matematikai fogalom, és a modell közötti kapcsolat.
Ezzel a programmal nem csak a hiperbolikus geometria alapfogalmait szeretnénk bemutatni, hanem más, árnyaltabb, absztraktabb képet szeretnénk nyújtani az iskolai gyakorlatból jól ismert elemi geometriai fogalmakhoz, mint például az egybevágóság.
Reményeink szerint ennek a modellnek a részletekbe menő türelmes tanulmányozásával ezekről a kérdésekről átfogó képet kapnak majd olvasóink.
A P-modell
Nyomatékosan ajánljuk olvasóinknak a fenti applet forrásfájljának a letöltését és önálló alkalmazását. Ez a fájl tartalmazza az összes saját eljárást, amelyet a továbbiakban alkalmazni fogunk, és olvasóink is használhatnak az abszolut- ill. hiperbolikus geometriai szerkesztési feladataik megoldásában.
A letöltött GeoGebra fájl algebra ablakát bekapcsolva kitűnik, hogy egyetlen látható rajz objektumunk van, a k=Kör((0,0),10) kör, a P-modell alapköre, amely azonban csak a felhasználó számára jelzi a „játszóterünk határát". Egyetlen saját eljárás sem hivatkozik rá. Akár le is törölhetnénk.