Steiner Erzeugung
Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts
Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):
Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten 
(alle Geraden durch den Punkt 
bzw. 
) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung 
des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.Für die Erzeugung einzelner Punkte der Ellipse 
gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln aus. Sei nun 
der obere Nebenscheitel der Ellipse und 
. Dann ist 
der Mittelpunkt des Rechtecks 
. Wir unterteilen die Rechteckseite 
in 
gleiche Stücke, übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen 
auf die Strecke 
(s. Bild) und nummerieren die Unterteilungen wie im Bild. Die benutzte Parallelprojektion zusammen mit der Umkehrung der Orientierung vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in und . Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden 
und 
liegen dann auf der durch die Vorgaben (3 Punkte, 2 Tangenten) eindeutig bestimmten Ellipse. Mit Hilfe der Punkte 
lassen sich Punkte auf dem 2. Viertel der Ellipse bestimmen. Analog erhält man Punkte der unteren Hälfte der Ellipse.
Bemerkung:
a) Benutzt man statt der Scheitel zwei Punkte eines anderen Durchmessers, so muss man für einen Punkt des konjugierten Durchmessers wählen und arbeitet dann mit einem Parallelogramm statt eines Rechtecks. Daher rührt auch der manchmal gebräuchliche Name Parallelogramm-Methode.
b) Den Beweis dieser Methode kann man auch am Einheitskreis nachrechnen. Da Teilverhältnisse und Parallelität bei affinen Abbildungen invariant bleiben, ist der Beweis dann auch allgemeingültig. (Eine Ellipse ist ein affines Bild des Einheitskreises!)
Auch für Parabel und Hyperbel gibt es Steiner-Erzeugungen.
(alle Geraden durch den Punkt bzw. ) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.Für die Erzeugung einzelner Punkte der Ellipse gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln aus. Sei nun der obere Nebenscheitel der Ellipse und . Dann ist der Mittelpunkt des Rechtecks . Wir unterteilen die Rechteckseite in gleiche Stücke, übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen auf die Strecke (s. Bild) und nummerieren die Unterteilungen wie im Bild. Die benutzte Parallelprojektion zusammen mit der Umkehrung der Orientierung vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in und . Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden und liegen dann auf der durch die Vorgaben (3 Punkte, 2 Tangenten) eindeutig bestimmten Ellipse. Mit Hilfe der Punkte lassen sich Punkte auf dem 2. Viertel der Ellipse bestimmen. Analog erhält man Punkte der unteren Hälfte der Ellipse.
Bemerkung:
a) Benutzt man statt der Scheitel zwei Punkte eines anderen Durchmessers, so muss man für einen Punkt des konjugierten Durchmessers wählen und arbeitet dann mit einem Parallelogramm statt eines Rechtecks. Daher rührt auch der manchmal gebräuchliche Name Parallelogramm-Methode.
b) Den Beweis dieser Methode kann man auch am Einheitskreis nachrechnen. Da Teilverhältnisse und Parallelität bei affinen Abbildungen invariant bleiben, ist der Beweis dann auch allgemeingültig. (Eine Ellipse ist ein affines Bild des Einheitskreises!)
Auch für Parabel und Hyperbel gibt es Steiner-Erzeugungen.Parallelogramm Methode
