Principio de Cavalieri para toros
EL principio de Cavalieri permite calcular el volumen de un sólido de revolución integrando el área de sus secciones transversales con planos perpendiculares al eje de revolución. Dicho de manera coloquial, calcula el volumen interpretando el sólido de revolución como un conjunto de rodajas que se obtienen al cortar el sólido mediante los planos transversales.
En el caso de un toro las secciones transversales son anillos. El anillo varía según sea la altura del plano que seccione al toro.
Si el toro toro se genera rotando alrededor del eje una circunferencia de radio cuyo centro está a distancia del eje , el anillo que se obtiene al seccionar el toro tiene radio interno y externo y por tanto su área es
,
y el volumen total se obtiene al integrar entre la altura más baja, , y la más alta, , es:
.
Comparar este resultado con la obtención del volumen del toro usando el Teorema de Pappus.
Instrucciones:
Las secciones transversales de un toro son anillos. Si se considera la sección transversal con un plano de altura , el radio interno del anillo es y el externo . En la parte superior de la construcción se puede mover el deslizador azul que representa la altura de la sección transversal. En la parte de abajo se pueden ver los anillos que resultan de las secciones transversales y cómo varían su radio interno y externo al cambiar la altura, a la izquierda se ve la proyección del anillo en el plano y a la derecha el anillo dentro del toro.
Al dar al botón "Vista frontal" se puede ver en azul claro , (la distancia del centro de la circunferencia roja al eje ) en naranja dos radios de la circunferencia con longitud y los segmentos azules que son la vista frontal de la parte del anillo dentro del toro. Usando el Teorema de Pitágoras y que la distancia del eje al segmento azul es (la altura de la sección) se obtienen las expresiones para y .