Tetra Pak
Wir wollen eine eine Getränkekarton-Verpackung (z.B. für Fruchtsäfte) so produzieren lassen, sodass die Oberfläche minimal ist. D.h. in der Praxis, dass möglichst wenig Material (in diesem Fall: Karton) für die Herstellung der Verpackung benötigt wird. Solche Fragen nennt man Extremwertprobleme, welche man mit Hilfe von Ableitungen bzw. der Differentialrechnung lösen kann.
Aufgabe
Ein Getränkekartonverpackung hat ein Volumen von 1 Liter, wobei wir annehmen, dass die Grundfläche des Tetra Pak ein Quadrat ist.
Frage: Welche Höhe sollte das Tetra Pak (bei dem vorgegebenen Fassungsvermögen) haben, sodass möglichst wenig Karton verbraucht wird?
Haupt- und Nebenbedingung
Da die Oberfläche minimiert werden soll, ist diese unsere Hauptbedingung. Unter der Annahme einer quadratischen Grundfäche ist die Formel dafür: . Für das Volumen (Grundfläche mal Höhe) gilt: . Wir wissen (Angabe): ml.
Da unsere Zielfunktion (die Oberfläche) nun aber nur von einer Variablen abhängen soll, z.B. von , stellen wir die Formel für das Volumen auf um, um eine Variable () zu eliminieren. Nutze dazu folgendes digitale Whiteboard:
...
Lösung in GeoGebra CAS
1. Tippe die gefundene Zielfunktion, welche nur mehr von einer Variablen abhängt, ein.
2. Leite die Oberfläche nach der Variablen ab.
3. Löse die Gleichung . Bezeichne deine Lösung mit .
4. Bestimme .
5. Bestimme die Oberfläche für dieses gefundene , indem du in einsetzt.
Führe die Schritte 1-5 durch!
Der Kandidat für die Extremstelle lautet: _________
Die 2. Ableitung an der Stelle ist ...
Das bedeutet, dass an der Stelle tatsächlich ...
Wir müssen noch die eigentliche Ausgangsfrage beantworten, nämlich bei welche Höhe (in diesem Fall mit bezeichnet) die Oberfläche minimal ist. Verwende dazu und setze dafür die Oberfläche, welche du bereits ausgerechnet hast, ein, Dann forme auf um.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
Graphische Überprüfung
Teste deine Ergebnisse anhand der folgenden Grafik:
1. Ziehe den Punkt "Zieh mich", sodass die Oberfläche deinen ausgerechneten Wert beträgt.
2. Entsteht wirklich ein __________ ?
Informationen
Mit diesem Applet trainierst du die Kompetenzen:
- Untersuchungen von Polynomfunktionen in inner- und außermathematischen Bereichen durchführen können; einfache Extremwertaufgaben lösen können (Ermittlung von Extremstellen in einem Intervall)
Quelle bzw. Literatur
Lindner, A. (2020). Saftbox. Abgerufen von https://www.geogebra.org/m/qMvN2Rzz#material/Z9fX9tDR (2.1.2021)