Regla de la cadena y propiedades del gradiente.
Intepretación geométrica de la regla de la cadena. Regla de la cadena y derivada direccional. El gradiente como dirección de máximo crecimiento.
Interpretación geométrica de la regla de la cadena.
Inspeccionemos un poco más la regla de la cadena para funciones de dos variables. Dadas las funciones,
sabemos que la regla de la cadena nos da la expresión,
(1)
para la derivada con respecto a de la función compuesta , función que podemos representar como,
Por supuesto en la ecuación (1), es el producto escalar o producto interno entre los vectores y .
Si interpretamos a la función,
como una curva parametrizada en el plano -, donde la posición cambia como función del tiempo , entonces
,
es la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo , y por lo tanto intepretable como la velocidad de la curva. Concluimos de aquí y de la regla de la cadena, lo siguiente:
es la derivada con respecto al tiempo de la función a lo largo de la curva , y es igual al producto interno entre el gradiente de y la velocidad de la curva.
Esta conclusión es válida para funciones compuestas de varias variables también .
Ejemplo de curva parametrizada. La línea roja plana debajo muestra el recorrido de la curva,
con,
Al activar el movimiento se puede ver la trayectoria del punto y su velocidad .
La regla de la cadena y la derivada direccional.
Recordemos que dado un vector y una función , la derivada de en la dirección de es,
que no es nada menos que la derivada en de la función compuesta con y ,
que por la regla de la cadena es,
Esta fórmula nos da una manera de investigar qué dirección es la de máximo crecimiento de en . Más precisamente, consideremos todas las direcciones de norma uno. Queremos usar la fórmula anterior para determinar en qué dirección la derivada direcccional es máxima. Dicha dirección será la dirección de máximo crecimiento de .
Para ello recordemos que,
donde usamos que y donde es el coseno del ángulo formado por y . Pero y es justamente cuando , es decir cuando está alineado a . Por lo tanto la dirección de máximo crecimiento de es
en cuyo caso tenemos,
En particular, cuanto más grande el la norma del gradiente, más rápido es el crecimiento de la función en la dirección . El gradiente apunta en la dirección en la que crece.
Esta conclusión es naturalmente válida para funciones de varias variables también.