Lineare Regression
Ein Hinweis vorab: Ich verwende einige Fachbegriffe ohne Erklärung. Sollte Ihnen etwas unklar sein, melden Sie sich bitte sofort.
Bei diesem Thema soll der Zusammenhang zwischen gemessenen Daten untersucht werden. Dieser Zusammenhang wird als Korrelation bezeichnet.
Es kann sein, dass eine begründete Korrelation besteht, man sagt dann die Daten "Y" hängen kausal von den Daten "X" ab. Ein Beispiel: Wenn ich mehr Werbung mache, dann werde ich auch meinen Umsatz erhöhen (so die Hoffung).
Es kann auch sein, dass der Zusammenhang rein zufällig ist, z.B. eine höhere Zahl von Geburten korreliert mit einer größeren Population von Störchen oder je mehr Eis ich esse, umso höher ist die Chance auf einen Sonnenbrand. (Hier könnte jeweils ein gemeinsamer Grund vorliegen.)
Im folgenden Beispiel untersuchen wir den Zusammenhang zwischen der Körpergröße (in cm) von Personen und ihrer Schuhgröße. Lösen Sie mit dem Applet zunächst die folgenden Aufgaben, unten folgen dann Fragen dazu, notieren Sie sich also die Ergebnisse gegebenenfalls.
- Tragen Sie gern die Daten Ihrer Gruppe (bis 4 Personen) ein. Sie können dazu die Punkte verschieben oder in der Eingabezeile z.B. A=(160,39) für die erste Person eingeben.
- Ermitteln Sie eine Prognose für eine Person, die 190 cm groß ist.
- Verändern Sie die Daten und schauen Sie sich an, wie sich die Gerade und der Korrelations-Koeffizient verändern.
- Untersuchen Sie welche Werte Sie für r erzeugen können, erreichen Sie die Null oder negative Werte?
Ihre Prognose für die 190cm Person?
Ermitteln Sie die richtigen unter den folgenden Aussagen und notieren sich das Wesentliche in Ihren Aufzeichnungen.
Der Korrelations-Koeffizient für eine lineare Korrelation wird mit der folgenden Formel berechnet:
dabei sind die Daten, die Mittelwerte von n Daten, i=1...n.
Die Formel sieht schon etwas "wild" aus, aber per Computer (z.B. Tabellenkalkulation) lässt sie sich natürlich schnell berechnen. Diese Formel müssen Sie nicht auswendig kennen.
Die Regressions-Gerade
Die Gerade wird heute fast immer per Computer bestimmt, da natürlich alle Daten berücksichtigt werden müssen. Früher (so um die 1990) hat man dies tatsächlich oft per Augemaß gemacht, da das menschliche "Auge / Gehirn" dies recht gut kann. Probieren Sie es im folgenden Applet aus (unten wieder wahre und falsche Aussagen)
- Versuchen Sie durch eine Änderung der Schieberegler die rote Gerade möglichst gut "durch die Daten / Punktwolke" zu legen.
- Schalten Sie die Regressionsgerade ein und versuchen Sie Ihren ersten Ansatz zu korrigieren.
- Finden Sie heraus, was dabei mit "den Squares" passiert und durch welchen Punkt die Gerade auf jeden Fall verläuft. Dazu können Sie auch nochmal einzelne Punkte verschieben.
Wählen Sie wieder die richtigen Aussagen, übertragen Sie das wesentliche in Ihre Aufzeichnungen. Eventuell müssen Sie auch nochmal mit dem zweiten Applet "spielen".