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7. AB Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und f'

Lernvoraussetzungen

  • Grundvorstellung zu Funktionen
  • anschauliche Vorstellung von Hoch- und Tiefpunkten
Das obere Graphikfenster zeigt den Graphen einer Funktion f und einen Punkt (x|f(x)) auf dem Graphen. Mit dem Schieberegler kannst du diesen Punkt im Intervall [-3; 4] bewegen. Im unteren Graphikfenster werden die jeweiligen Punkte (x|f‘(x)) gezeichnet.

Aufgabe 1:

Untersuche, welche Zusammenhänge zwischen den Graphen der Funktion f und ihrer Ableitungsfunktion f‘ bestehen. Finde möglichst viele. Betrachte dabei auch besondere Punkte. Stelle in einer Tabelle gegenüber:

Eigenschaft von f       Eigenschaft von f'      
Der Graph von f steigt streng monoton im Intervall IDer Graph von f' ...





         

Aufgabe 2:

Erkläre, welche Besonderheit für die Punkte (-2|f(-2)), (1|f(1)) und (3|f(3)) gilt, und gib die Koordinaten der entsprechenden Punkte der Ableitungsfunktion f‘ an. Ordne begründet die Begriffe Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt zu. Tipp: Wenn dir die Begriffe unklar sind, kann das Kontrollfeld „Extrempunkte zeichnen“ dir helfen.

Aufgabe 3:

Beurteile die beiden Aussagen 1 und 2: Aussage 1: Wenn f an der Stelle x einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt hat, dann hat f‘ an der Stelle x eine Nullstelle. Aussage 2: Wenn f‘ an der Stelle x eine Nullstelle hat, dann hat f an der Stelle x einen Hoch- oder einen Tiefpunkt.

Aufgabe 4:

In Aufgabe 3 hat du gesehen, dass an der Stelle eines Hoch- oder Tiefpunkts immer gelten muss: f‘(x) = 0. Man spricht von der notwendigen Bedingung. Sie reicht aber offenbar nicht aus, wenn Extremwerte gesucht werden, denn diese Bedingung ist auch im Sattelpunkt (1|f(1)) erfüllt. Untersuche mit Hilfe des Geogebra-Applets die Ableitungsfunktion f‘ in der Umgebung der besonderen Punkte. Halte deine Beobachtungen in der Tabelle fest.

Wenn...        Dann.....         
... an der Stelle x ein Hochpunkt vorliegt, 



Aufgabe 5:

Formuliere nun zusammenfassend Bedingungen, so dass richtige Aussagen entstehen:

Eigenschaft der Ableitungsfunktion f' Eigenschaft von f      
dann ist f im Intervall I streng monoton steigend.
dann ist f im Intervall I streng monoton steigend.
dann hat f an der Stelle x einen Hochpunkt.
dann hat f an der Stelle x einen Tiefpunkt.
dann hat f an der Stelle x einen Sattelpunkt.

Quellen: Diese und weitere Aktivitäten finden sich im GeoGebra-Buch Graphisches Ableiten und Ableitungsfunktion (https://www.geogebra.org/m/csht6afh). Quellenautoren: Applet Armin Baeger.