Kvadraattinen funktio
Toisen asteen polynomifunktiossa muuttujan korkein potenssi on kaksi eli funktion yleinen muoto on
missä
Negatiivisen luvun korottaminen toiseen potenssiin antaa saman positiivisen tuloksen kuin vastaava positiivinen luku. Selkeästikään funktion kuvaaja ei voi olla suora. Toisen asteen polynomifunktion kuvaajaa kutsutaankin paraabeliksi.
Kuten huomataan, niin kuvaaja on symmetrinen pisteen H kautta piirretyn y-akselin kanssa yhdensuuntaisen suoran suhteen. Pistettä H kutsutaan paraabelin huipuksi ja vastaavaa suoraa paraabelin symmetria-akseliksi.
Vakion a vaikutus on selkeästi havaittavissa:
a > 0: paraabeli on ylöspäin aukeava
a < 0: paraabeli on alaspäin aukeava
|a| on suuri: paraabeli on kapea
|a| on pieni: paraabeli on leveä
Vakion c merkitys on sama kuin ensimmäisen asteen polynomifunktioillekin eli se on funktion kuvaajan ja y-akselin leikkauspiste. Vaihtelemalla vakioiden a, b ja c arvoja appletissa huomaat, että toisen asteen polynomifunktion kuvaaja ei aina leikkaa x-akselia. Tämä vastaa toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisessa tilannetta, jossa neliöjuuren sisäosa menee negatiiviseksi. Toisin sanoen, funktiolle f ei löydetä nollakohtia.
Hyödyntämällä y-akselin leikkauspistettä saadaan huippupiste ratkaistua vakioiden a, b ja c avulla seuraavasti. Lasketaan ensin pisteet, joissa funktio saa saman arvon kuin vakio c.
Symmetrisyyden perusteella huippupisteen täytyy olla näiden pisteiden puolessa välissä, joten
Mikäli paraabelin huippupisteen koordinaatit ovat tiedossa, niin 2. asteen polynomifunktio voidaan määritellä kaavalla
Tällöin riittää tietää yksi piste huippupisteen lisäksi, jotta vakiokerroin a voidaan ratkaista.
Paraabelin piirtäminen
1. Määritä funktion kaksi leikkauspistettä suoran kanssa.
2. Määritä huippupiste näiden pisteiden avulla.
HUOM! Jos sait edellisessä vaiheessa vain yhden pisteen, on se samalla huippupiste. Valitse lisäksi pari x-arvoa huippupisteen molemmin puolin, mieluiten yhtä kaukana huippupisteestä. 3. Piirrä paraabeli näiden kolmen pisteen kautta.
Esimerkki 4.
Ammus laukaistaan vertikaalisesti ylöspäin maanpinnasta 2 metrin korkeudelta. Ammuksen lentorataa maanpinnan yläpuolella voidaan kuvata funktiolla
missä h on ammuksen korkeus maanpinnasta metreinä ja t on laukaisemisesta kulunut aika sekunteina.
a) Millä ajan hetkellä ammus osuu maahan?
b) Kuinka korkealla ammus käy?
c) Millä ajan hetkellä ammus on 45 metrin korkeudella?
d) Millä korkeudella ammus on 4.5 sekunnin kuluttua laukaisemisesta?
Vastaus 4. Ennen tehtävän ratkaisemista kannattaa ammuksen lentoradan kuvaajaa hahmotella. Kuvasta ei voi katsoa valmiita vastauksia mutta siitä voi saada vinkkejä tehtävän ratkaisemiseksi.
Vaikka hahmoteltu kuvaaja jatkuukin x-akselin alapuolelle, ei näitä osia tarvitse tutkia. Käytännössähän ammus olisi tällöin maahan kaivautuneena.
Kuten kuvasta nähdään, ammus käy noin 80 metrin korkeudella ja lento kestää suunnilleen 8 sekuntia. Näiden tietojen perusteella voimme tarkastella saamiemme tulosten oikeellisuutta.
a) Kun ammus osuu maahan, on ammuksen korkeus 0 metriä. Käytännössä tämä tapahtuu ilmalennon päättyessä. Matemaattisesti tarkastelemme siis tilannetta, että
Näistä jälkimmäinen kuvaa tilannetta ennen laukaisua eikä näin ollen käytännössä ole mahdollinen. Ammuksen lento kestääkin siis 7.8 sekuntia.
b) Ammuksen lentoradan korkeinta kohtaa kuvaa huippupisteen y-koordinaatti. Huippupisteen y-koordinaatti saadaan laskettua suoraan funktion kertoimien avulla eli
Ammus käy noin 76 metrin korkeudella.
c) Tarkastellaan tilannetta ensin kuvasta.
Kuvan perusteella ammus on 45 metrin korkeudella noin 1.5 ja 6.5 sekunnin kuluttua laukaisemisesta. Tarkka ratkaisu saadaan, kun ratkaistaan
eli
.
Ratkaisu vastaa hyvin kuvan antamaa tulosta. Muista, että kuvaa voi käyttää apuna tulosten oikeellisuuden varmistamiseksi mutta tulosta ei voi antaa vain kuvan perusteella.
d) Nyt aika on annettu ja halutaan tietää ammuksen korkeus. Koska t on 4.5 sekuntia, niin kyseinen muuttujan arvo sijoitetaan ammuksen korkeutta kuvaavaan funktioon muuttujan paikalle:
.
Ammus on noin 74 metrin korkeudella ko. hetkellä.
Esimerkki 5.
Paraabeli huippu on pisteessä (3, 4) ja se leikkaa x-akselin pisteessä 6. Mikä on paraabelin yhtälö?
Koska paraabelin huippupiste on tiedossa, joten voimme käyttää kaavaa missä . Koska paraabelin leikkauspiste x-akselin kanssa on tiedossa, niin tunnemme myös pisteen (6, 0). Tällöin
Sijoittamalla tämän tiedon yleiseen kaavaan, niin
Kuvaa tarkastelemalla nähdään, että tämän yhtälön perusteella piirretty kuvaaja täsmää annettuihin tietoihin.