Funciones lineales (3º ESO)
Decíamos que una función era lineal cuando era de la forma f(x) = m·x + n. En ese caso, llamábamos pendiente de la función al valor m, y ordenada en el origen al valor n, y la gráfica correspondiente a la función es una recta.
Si nos dan la expresión analítica de la función, es decir, la ecuación f(x) = m·x + n, para dibujarla basta hacer una tabla de valores. Como se trata de una recta, solamente necesitaremos dos puntos, así que solo tenemos que dar dos valores a la variable x.
Siempre es recomendable tomar valores de x que nos permitan hallar sus correspondientes valores de y de forma sencilla, por ejemplo, 0, 1, -1... No obstante, podemos hacerlo para cualquier valor de x.
| x | y |
| 0 | f(0) |
| 1 | f(1) |
Otras veces, puede que en lugar de la expresión nos den la gráfica, y tengamos que encontrar la pendiente y la ordenada en el origen. Para ello, tendremos en cuenta lo siguiente:
- La ordenada en el origen es el valor que toma la función cuando la variable independiente es nula, es decir, en x = 0. Por tanto, podemos hallar su valor mirando dónde corta la recta al eje OY.
- Para hallar la pendiente, debemos tomar dos puntos, cualesquiera, de la recta, y comparar cómo cambia la variable dependiente, es decir, la y, cuando crece la independiente, la x.
Funciones de proporcionalidad directa
Hay un tipo particular de funciones lineales, aquellas en las que la ordenada en el origen es cero, es decir, n = 0. La fórmula general de estas funciones, llamadas de proporcionalidad directa, es f(x) = m·x, y como son funciones lineales, cumplen todas las características que ya estudiamos. Pero por ser un caso especial, su manejo es mucho más sencillo. Veamos por qué.
En primer lugar, siempre conoceremos un punto de la función, ya que cuando x = 0, f(x) = m·0 = 0. Así, todas las funciones de proporcionalidad directa pasan por el origen de coordenadas, el punto (0, 0). Entonces, para dibujarlas solo necesitamos un punto más.
Por otro lado, si nos dan la gráfica y queremos calcular su pendiente, basta tomar un punto cualquiera (distinto del origen de coordenadas) por el que pase la función, y dividir su ordenada entre su abscisa: m = y / x.
En una función lineal (f(x) = m·x + n), siempre podremos encontrar un valor de y que corresponda a alguna x. Por tanto, el dominio de una función lineal, cualquiera, es todo el conjunto de los números reales:
Para la imagen, o recorrido, debemos distinguir dos casos. Si la función es constante, es decir, si m = 0, la imagen será un único punto:
En cualquier otro caso, toda y tendrá una correspondencia con alguna x, por lo que la imagen será toda la recta real:
En cuanto a la monotonía, si no es constante, solamente tendrá un intervalo de crecimiento (si m > 0) o de decrecimiento (m < 0), que será toda la recta real. Así, no puede tener ni máximos ni mínimos.
Haz click debajo, donde pone «Entrada...» (esquina superior izquierda), y escribe la ecuación de una función lineal (por ejemplo, f(x) = 4 x -2), y verás que aparece dibujada a la derecha. ¡Puedes dibujar todas las que quieras!