Maravilloso CAS

Autor:Rafael Losada Liste

Tema(s):Vectores 2D (Bidimensionales), Álgebra, Funciones, Geometría, Gráficas de funciones, Matrices, Transformacionse geométricas, Vectores

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia. Antes de continuar con otras funciones, revisemos cómo hemos abordado los casos anteriores. Para hallar la expresión de la nueva función polinómica, dado el sistema {O, a, b}, hemos empleado un método general en la Vista CAS. Pero para invertir el proceso, es decir, averiguar cuál es un cambio de sistema de referencia adecuado a la nueva función polinómica, nos hemos aprovechado de dos particularidades:

Nuestro conocimiento previo de las rectas y parábolas.
Los comandos específicos de que dispone GeoGebra para su análisis.

Veamos ahora cómo podemos evitar esas particularidades y seguir un método más general. Explicaremos aquí este método general aplicándolo a un ejemplo concreto ya visto: funciones polinómicas de grado menor que 2 (rectas). Sea pues una función polinómica g(x) = A x + B (donde A puede ser cero). Queremos encontrar un sistema de referencia {O, a, b} que genere esa función a partir de la recta canónica y=0. Nota: Usaremos las mayúsculas para los coeficientes para distinguirlos mejor de los elementos de la matriz T. Recuerda que, en la Vista Algebraica, habíamos introducido la función multivarible correspondiente a la recta canónica:

F(x, y) = 0 - y

Ahora, en la Vista CAS, que ya no abandonaremos, introducimos la función multivariable G(x, y) = g(x) - y:

Línea 1→ g(x) := A x + B Línea 2→ G(x, y) := g(x) - y

Creamos la matriz de transformación T, pero ahora con literales a_x, a_y, b_x, b_y, o_x, o_y. Como el resultado de la transformación ha de ser una función, sabemos que b_y = 0. Además, como O ha de ser un punto de la gráfica de y=g(x) (pues la primitiva y=0 pasa por (0,0)), sabemos que o_y = g(o_x). Así pues:

Línea 3→ T := {{a_x, 0, o_x}, {a_y, b_y, g(o_x₎)}, {0, 0, 1}}

Aplicamos el método ya mostrado para obtener la ecuación resultante:

Línea 4→ p:=Inversa(T) (x, y, 1) Línea 5→ Numerador(Simplifica(F((1 ,0, 0) p, (0, 1, 0) p)))

Igualaremos ahora esta ecuación con la ecuación objetivo G(x, y)=0. Para ello, primero restamos G(x, y) a la anterior expresión:

Línea 6→ $5 - G(x, y)

(Nota: $5 significa "resultado de la línea 5".) Las dos ecuaciones coincidirán cuando todos los coeficientes de esta última expresión sean nulos. Así que solo nos queda distinguir esos coeficientes y ver cuándo se anulan:

Línea 7→ Coeficientes($6, {y, x}) Línea 8→ Resuelve($7, {a_x, a_y, b_y, o_x})

Nota: Observa que el comando Resuelve no necesita que previamente igualemos las expresiones a cero, ya que lo presupone. Analicemos el resultado. Hemos obtenido que: {a_x = 1, a_y = A, b_y = b_y, o_x = o_x}. Es decir, el vector a es (1, A), mientras que b_y y o_x pueden ser cualesquiera (siempre que O sea un punto de la recta), exactamente lo mismo que habíamos concluido en su momento.

Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

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