Przykład 4.4 (z parametrem)

Wyznaczymy dziedzinę i ekstrema lokalne funkcji

określonej wzorem

, gdzie .

Rozwiązanie:

Funkcja

jest określona i różniczkowalna w

. Posiada

Dla

mamy:

wiadomo, że funkcja ta ma minimum lokalne w

o wartości

. Dalej zakładamy, że

. Zauważmy najpierw, że

dla

oraz

dla

. Z tego powodu badając znak pierwszej pochodnej trzeba rozróżnić te przypadki i wykonać dodatkowe założenia dotyczące parametru

(porównaj wiersz 3 i 4 poniżej).

Analizując znaki pierwszej pochodnej funkcji

w sąsiedztwach punktów

dla

, wnioskujemy, że w tym przypadku funkcja

ma w punkcie

minimum lokalne o wartości

, zaś w punkcie

maksimum lokalne o wartości

. Zbadaj co się dzieje, gdy

. Ilustracja graficzna: Prześledź rozważane przypadki manipulując suwakiem

Ćwiczenie.

W powyższym aplecie ustaw widoczny obszar

. Zbadaj dla jakich wartości parametru

punkt odpowiadający maksimum lokalnemu funkcji

(zielony punkt na wykresie funkcji) znajduje się obszarze

. Zmień wartości

, tak aby wartości parametru

z przedziału

stanowiły rozwiązanie tego ćwiczenia.