Ejercicio 1.9 - Triángulos pedales
Ejercicio 1
Si una ceviana de un triángulo equilátero es extendida para encontrar el circuncírculo en , entonces: .
Notemos que por AA, por lo que tenemos las siguientes proporciones:
y
Por lo tanto, .
Ejercicio 2
Si un triángulo isósceles con ángulos iguales en los extremos de su base se dibujan dentro de un cuadrado , como en la siguiente figura, entonces los puntos son los vértices de un triángulo equilátero.
Respuesta:
Si construimos un segmento desde hasta un punto de intersección en tal que . En vemos que . Construimos un segmento desde hasta un punto que esté en de manera que . Esto hace que . También, notemos que es isósceles y ya qe . Luego tenemos que . Tenemos que es isósceles y por tanto . Por consecuencia, es equilátero. Ya que pasa por y es entonces esta es la altura de . Tenemos entonces que .
Además, y es un lado común, entonces . Tendremos entonces que . Similarmente, y por tanto es equilátero.
Ejercicio 3
Si las rectas PB y PD, fuera de un paralelogramo ABCD, forman ángulos iguales con lados BC y DC respectivamente, como en la figura a continuación, entonces .
Respuesta:
Sea tal que es un paralelogramo. Ahora observe que los ángulos verdes en la ilustración son congruentes. Esto implica que es un cuadrilátero cíclico. Por tanto, . Pero esto implica que las partes no comunes de los ángulos y son iguales. Eso es lo que queríamos concluir.
Ejercicio 4
Sean un triángulo isósceles con ángulos congruentes de en B y C. Las cevianas y dividen y en y , como en la figura siguiente. Encuentre .
Respuesta:
Sea entonces . Si observamos concluimos que . Además, en , . Entonces es isósceles, y concluimos que .
Si aplicamos la Ley de senos en conseguimos que .
Entonces
Luego, obtenemos que:
Ejercicio 5
Si dos rectas a través de un vértice de un triángulo equilátero divide el semicírculo dibujado hacia afuera en el lado opuesto en tres arcos iguales, estas mismas líneas dividen el lado en 3 segmentos iguales.
Respuesta: Note que
(i)
(ii)
(iii)
Como , , comparten lados similares, y , , también, tenemos que la razón de semejanza es la misma en i, ii y iii, llamémosla .
Entonces:
Por lo tanto,