Gli integrali definiti: concetto e definizione
In questo capitolo introduciamo la seconda parte di questo argomento, che apparentemente è completamente scollegato da quello degli integrali indefiniti.
Per capire il problema che si propone di risolvere lo strumento dell'integrale definito, vediamo un esempio nella seguente animazione.
CONCETTO E DEFINIZIONE DI INTEGRALE DEFINITO
Vediamo di fare il punto su quanto introdotto dall'animazione.
1) L'integrale definito indica la misura dell'area compresa tra il grafico della funzione e l'asse delle ascisse.
Il concetto di integrale definito nasce dalla necessità di calcolare la misura dell'area sottesa al grafico di una funzione, che ci interessa perchè spesso è legata a grandezze associate alla funzione stessa. Ad esempio abbiamo visto che l'area sottesa al grafico della velocità rispetto al tempo fornisce lo spazio percorso , mentre se consideriamo il grafico di una forza applicata* ad un corpo rispetto alla posizione del corpo stesso, l'area sottesa ci indica il lavoro compiuto .
* più precisamente la componente della forza parallela alla direzione di spostamento del corpo.
2) Per capire la logica con cui si imposta questo calcolo si può passare attraverso un'approssimazione, in cui la funzione originale viene sostituita con una funzione costante a tratti; il valore assunto in ogni tratto è uno di quelli assunti dalla funzione in quell'intervallo ed al proposito si possono fare varie scelte. In questo modo l'area cercata è pari alla sommatoria di contributi, ognuno dei quali è l'area di un rettangolino compreso tra un tratto di funzione e l'asse delle ascisse.
Si vede anche graficamente che questa approssimazione è tanto più accurata tanto più frequente è la campionatura della funzione, ovvero tanto più numerosi e stretti sono gli intervalli in cui si registra l'effettivo valore della funzione originale e lo si usa per costruire la funzione definita a tratti.
Puoi osservare questo aspetto nell'animazione qui sotto.
Nella barra d'inserimento in basso puoi cambiare la funzione studiata digitando "
f(x)=..."; ad esempio "f(x)=x^2-1" per ottenere "" oppure "f(x)=log(2,x)" per ottenere "".
Puoi vedere e sperimentare gli stessi aspetti in modo più completo ed articolato nell'animazione qui sotto. Attraverso gli slider puoi modificare i valori dei vari parametri:
- è il valore di partenza della zona sull'asse di cui si vuole calcolare l'area sottesa
- è il valore finale della zona di interesse
- è il numero di intervalli in cui si divide la zona considerata
- la modalità con cui si sceglie l'altezza del rettangolo (SINISTRA: valore della funzione nel punto iniziale dell'intervallo; DESTRA: valore della funzione nel punto finale dell'intervallo; SUPERIORE: valore massimo assunto dalla funzione nell'intervallo; INFERIORE: valore minimo assunto dalla funzione nell'intervallo; CENTRALE: valore assunto dalla funzione nel punto centrale dell'intervallo)
f(x)=..."; ad esempio "f(x)=x^2-1" per ottenere "" oppure "f(x)=log(2,x)" per ottenere "".
3) Per rendere questa approssimazione sempre più precisa e farla tendere al risultato esatto, dovremo avere sempre più intervalli, ognuno dei quali sempre più stretto
In altre parole si tratta di considerare il limite di questa espressione per l'ampiezza degli intervalli che tende a zero. Questo limite è solo simbolico, cioè ne è chiaro il significato ma non lo si può calcolare matematicamente: dovremo giungere al risultato per altra via. Il ragionamento porta tuttavia all'introduzione di una nuova simbologia, spiegata nell'animazione.
La scrittura indica l'area compresa tra il grafico della funzione e l'asse delle ascisse, nel tratto compreso tra i valori e , ed è chiamato INTEGRALE DEFINITO di tra e .
Vedremo come è possibile calcolarlo, e come tale calcolo sia direttamente collegato alle primitive della funzione , cioè al suo integrale indefinito.