Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и все её боковые рёбра равны. Поэтому все боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники с вершиной в вершине пирамиды. (Напомним, что правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр не одно и то же. Правильный тетраэдр является правильной треугольной пирамидой, но не наоборот!) Согласно данному определению правильной пирамиды о любой пирамиде по её внешнему виду можно судить, правильная она или нет: достаточно произвести необходимые измерения на её гранях. Ответ на этот вопрос мы получим, установив в следующей теореме характерное свойство правильной пирамиды. Теорема (о правильной пирамиде). Пирамида является правильной тогда и только тогда, когда её основание — правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр основания. Доказательство. Пусть Т — правильная пирамида с вершиной Р и основанием F. Опустим из точки Р перпендикуляр РО на плоскость α основания F. Возьмём любые две вершины А и В основания F и проведём отрезки О А и ОБ, получим прямоугольные треугольники РОА и РОВ. Эти треугольники равны, так как они имеют равные гипотенузы РА и РВ и общий катет РО. Следовательно, равны и другие их катеты, т. е. ОА = ОВ. Итак, проекция вершины Р пирамиды Т на плоскость а равноудалена от всех вершин правильного многоугольника F. Поэтому точка О является центром многоугольника F.

Итак, доказано, что вершина правильной пирамиды проектируется в центр её основания. Рассмотрим теперь пирамиду Т, основание которой — правильный многоугольник F и вершина которой Р проектируется в его центр — точку О. Снова берём две произвольные вершины А и В основания F и рассматриваем прямоугольные треугольники РОА и РОВ. Теперь в этих треугольниках общий катет РО и равные катеты О А и ОБ (поскольку О — центр правильного многоугольника F). Следовательно, опять ∠РОА = ∠РОВ. Поэтому РА = РВ. Значит, все боковые рёбра пирамиды Т равны, т. е. пирамида Т правильная. Доказанная теорема показывает, что правильную пирамиду можно определить как такую пирамиду, у которой основание — правильный многоугольник и вершина проектируется в его центр. Теперь ясно, как построить правильную пирамиду. Надо взять правильный многоугольник F и из его центра О провести какой-нибудь перпендикуляр ОР к плоскости многоугольника F. Точка Р будет вершиной правильной пирамиды, а многоугольник F — основанием этой пирамиды. У правильной n-угольной пирамиды n плоскостей симметрии. Они проходят через вершину пирамиды и оси симметрии её основания. При отражении в такой плоскости вершина пирамиды остаётся на месте, а основание совмещается само с собой. Поэтому и пирамида совмещается сама с собой.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Правильная пирамида

Правильная пирамида

New Resources

Discover Resources

Discover Topics