CFMod2_M1 L I.3 d)-f) Annäherung an die momentane Geschwindigkeit
d) Annäherung an momentane Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate)
Problem: Berechnung der momentanen Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate)
Die Lernenden sollten nach den vorherigen Schritten erkannt haben, dass eine exakte Berechnung mit dem Differenzenquotienten nicht gelingt. Die Frage (die herausgestellt und von allen erfasst werden sollte) ist dann also, wie die Geschwindigkeit zu einem ZeitPUNKT ermittelt werden kann, wenn die Berechnung auf ZeitRÄUMEN beruht.
Lösung: Keine Berechnung, sondern Näherung
Mithilfe der GeoGebra-Aktivität Näherung momentane Geschwindigkeit Gepard bestimmen die Lernenden die mittleren Geschwindigkeiten in der Nähe eines Zeitpunkts und nähern sich so der momentanen Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt von beiden Seiten an.
Wichtig für die spätere algebraische Erarbeitung ist es zu den berechneten momentanen Geschwindigkeiten die Differenzenquotienten zu notieren
Arbeitsblatt Annäherung_Gepard (siehe unten).
Mithilfe der GeoGebra-Aktivität Näherung momentane Geschwindigkeit Gepard bestimmen die Lernenden die mittleren Geschwindigkeiten in der Nähe eines Zeitpunkts und nähern sich so der momentanen Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt von beiden Seiten an.
Wichtig für die spätere algebraische Erarbeitung ist es zu den berechneten momentanen Geschwindigkeiten die Differenzenquotienten zu notieren
Arbeitsblatt Annäherung_Gepard (siehe unten).Applet aus AB Näherung momentane Geschwindigkeit Gepard
Bedienung des Applets:
Für die Näherung kann im Applet mit drei Schiebereglern das Intervall bzw. eingestellt werden:
- grüner Schieberegler für die Zeit
- roter Schieberegler für den Zeitpunkt (erscheint mit Häkchen bei Berechnung der mittleren Geschwindigkeiten um den Zeitpunkt t0)
- schwarzer Schieberegler für die Genauigkeit (erscheint mit Häkchen bei Genauigkeit einstellen). Sobald in den Eingabefeldern im Differenzenquotienten die korrekten Zahlenwerte eingetragen sind, werden die Felder ersetzt durch die Zahlenwerte und die mittlere Geschwindigkeit wird daraus berechnet.
Link für SuS: GeoGebra-Aktivität AB Näherung momentane Geschwindigkeit Gepard
https://www.geogebra.org/m/yfxh3pts
https://www.geogebra.org/m/yfxh3ptsArbeitsblatt Annäherung_Gepard
e) Vergleich der Annäherungen und Verbalisierung des Grenzwertprozesses
Beim Vergleich beider Tabellen sollten drei zentrale Erkenntnisse herausgearbeitet werden und anschließend festgehalten werden (statt und können auch die konkreten Zahlenwerte notiert werden):
- Je kleiner das Intervall wird, je näher also an heranrückt, desto näher kommt die mittlere Geschwindigkeit dem Wert .
- Sie kommt dem Wert beliebig nahe.
- Jede andere Annäherung an den Zeitpunkt führt zum selben Wert, der Momentangeschwindigkeit.
f) Verbale Definition der Ableitung im Kontext
An dieser Stelle bietet es sich aus den Erkenntnissen in e) den Begriff Ableitung an der Stelle zu formulieren:
Vorsicht bei den Sprechweisen zu Grenzprozessen
Auch in Schulbüchern finden sich häufig Sprechweisen, die zu Verständnisschwierigkeiten beitragen.
Nachfolgende Übersicht zeigt dies anhand des Kontexts Gepard.
Quellen:
Das obige Applet wurde erstellt von Susanne Digel.