Einführendes Beispiel 2
Funktionen beschreiben eindeutige Abhängigkeiten
Je höher wir auf einen Berg steigen, desto niedriger wird der Luftdruck. Der Luftdruck ist als abhängig von der Höhe auf der wir uns befinden. Um das sichtbar zu machen schreibt man auch , sprich "L von h". ist die Funktion des Luftdruckes in Abhängigkeit von der Zeit.
Wenn Sie mit dem Fahrrad fahren, dann hängt die zurückgelegte Strecke von der Zeit ab. Man kann daher die Funktion formulieren. Wenn man eine feste Zeit voraussetzt, dann können Sie auch mehr Strecke zurücklegen, indem Sie schneller fahren. Mit einer höheren Geschwindigkeit kann man eine größere Strecke zurücklegen. Daher kann man auch eine Funktion formulieren, die Strecke in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit.
Was heißt "eindeutige Abhängigkeit"?
Wir können den Tag über die Windstärke messen. Zu jedem Zeitpunkt lässt sich die Windstärke messen und ich kann am Ende des Tages eindeutig sagen, welche Windstärke wir zu welcher Zeit hatten. Man kann also jeder TAgeszeit eindeutig eine Windstärke zuordnen. Allerdings kann ich diese Funktion nicht umkehren. Wenn wir eine Windstärke kennen, dann können wir nicht daraus schließen, wie spät es war, als der Wind so stark wehte. Es ist gut möglich, dass der Wind um 10 Uhr und um 15.35 Uhr jeweils gleich stark war. Dass heißt wenn man einer jeden Windstärke eine Uhrzeit zuordnet, dann ist dies keine eindeutige Zuordnung und daher kann "Uhrzeit in Abhängigkeit von der Windstärke" im mathematischen Sinne keine Funktion sein.
Abhängige Größen und unabhängige Größen.
Oben ist als Beispiel die Funktion genannt, also "Windstärke in Abhängigkeit von der Zeit". Ich kann zu jeder beliebigen Uhrzeit eine Windstärke bestimmen. Daher ist die Zeit in diesem Beispiel eine unabhängige Variable. Die Windstärke ist die abhängige Variable, denn wenn die Uhrzeit einmal feststeht, dann kann man (rückblickend) eindeutig sagen, wie stark der Wind war.
Darstellung oder Beschreibung von Funktionen
In der Mathematik verwendet man drei Arten von Darstellungen für Abhängigkeiten:
- tabellarische Darstellung in Form einer Wertetabelle
- grafische Darstellung in Form eines Funktionsgrafen
- mathematische Darstellung in Form einer Funktionsgleichung
- Bei Experimenten schreibt man oft zuerst eine Wertetabelle auf.
- Um die Ergebnisse zu veranschaulichen eignet sich am besten der Funktionsgraf.
- Wenn eine mathematische Funktion bekannt ist, dann kann man auch solche Werte der abhängigen Variablen berechnen, die man im Experiment gar nicht gemessen hat oder die man vielleicht sogar gar nicht messen kann.
Beispiel Schmuckwürfel
Ein Baumarkt bietet zur Dekoration von Wintergärten Schmuckwürfel an. Diese bestehen aus Holz, haben einen dünnen Spiegel auf der Oberfläche und die Metallkanten sind dünn mit Gold belegt:
Der Hersteller braucht für die Kalkulation des Preises so eines Würfels einige Informationen:
- Wie viel Meter der vergoldeten Kante werden benötigt?
- Wie viel Spiegelfläche wird benötigt (dabei wird angenommen, dass die Spiegel bis zur Würfelkante gehen)
- Wie viel Holz wird benötigt?
Die Lösung:
Ein fleißiger Mitarbeiter berechnet die gesuchten Werte für verschiedene Würfelgrößen und macht daraus eine Wertetabelle:
Sein Kollege macht ihm den Vorschlag: Mache dir doch eine Gleichung für die Länge, die Oberfläche und für das Volumen. Dann kannst du auch Würfel mit allen anderen Kantenlängen berechnen.
Gesagt getan, mit ein wenig Hintergrund wissen aus der Schule kommen folgende Funktionsgleichungen zu stande:
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 12 | 6 | 1 |
| 2 | 24 | 24 | 8 |
| 3 | 36 | 54 | 27 |
| 4 | 48 | 96 | 64 |
| 5 | 60 | 150 | 125 |
| 6 | 72 | 216 | 216 |
| 7 | 84 | 264 | 343 |
| 8 | 96 | 384 | 512 |
- Länge aller Kanten des Würfels (Goldstreifen):
- Oberfläche aller Seiten des Würfels (Spiegel):
- Volumen des Würfels (Holz):
