2-teilig: Konstruktionen II
Das Applet soll noch einmal für 2-teilige bizirkulare Quartiken die wesentlichen Eigenschaften und zwei verschiedene Möglichkeiten zur "Konstruktion" aufzeigen. "Konstruktion" meint hier die Visualisierung mit Mitteln der Software ge
gebra. Im Zentrum steht die Möglichkeit, die Kurven unter Ausnutzung ihrer Eigenschaften als Ortskurven darzustellen.
Hier ein Versuch, die Kurven über ihre Eigenschaften zu charakterisieren:
Eine 2-teilige bizirkulare Quartik besitzt 4 verschiedene konzyklische Brennpunkte F1, F2, F3, F4. Der Kreis K0, auf welchem die Brennpunkte liegen, ist einer der 4 Symmetriekreise der Kurve. Einer der anderen Symmetriekreise ist imaginär. Die Spieglung an diesem imaginären Kreis ist das Produkt der Spiegelungen an den 3 anderen Kreisen.
Die Konstruktion der 2 reellen zu K0 orthogonalen Symmetriekreise ist angedeutet: man benötigt die zu K0 orthogonalen Kreise durch die Brennpunkte. Davon gibt es 6. Durch jeden Punkt der Ebene, der auf keinem der Symmetriekreise liegt, gehen genau 2 Quartiken der konfokalen Quartikschar.
Durch jeden von den Brennpunkten verschiedenen Punkt S auf K0 geht genau eine von K0 verschiedene Quartik. Der Quartik-Scheitel S ist beweglich.
Zu jeder Symmetrie gehört eine Aufteilung der Brennpunkte in zwei Brennpunktpaare und dazu 2 hyperbolische Kreisbüschel durch die Brennpunktpaare. Durch jeden Punkt der Quartik gehen 2 Brennkreise aus den Büscheln, die Quartik ist Winkelhalbierende der beiden Kreise.
Durch jeden Quartikpunkt gehen aber auch 2 Kreise der orthogonalen elliptischen Kreisbüschel. Die Quartik ist ebenfalls Winkelhalbierende dieser Kreise. Die Zuordnung zwischen diesen beiden elliptischen Kreisen haben wir im vorigen Applet genauer illustriert. Dazu: die Konstruktionen 12, -14, -13.
Zu jeder Symmetrie gehören doppelt-berührende Kreise. Spiegelt man einen der Brennpunkte an den Kreisen einer solchen Schar doppelt-berührender Kreise, so liegen die Spiegelpunkte auf dem zugehörigen Leitkreis. Aus dieser Eigenschaft folgt die Konstruktion der Quartik als Ortskurve mit Hilfe der Leitkreise.
Verfolgt man in der Animation die Zuordnung der elliptischen Kreise für zwei Brennpunkt-Paare, so stellt man fest: die Brennpunkte sind als Punktkreise der elliptischen Kreisbüschel ihren Leitkreisen zugeordnet!
Bemerkung zur Beweglichkeit der Brennpunkte und des vorgegebenen Quartik-Scheitels:
Im Prinzip kann man die Brennpunkte auf dem Kreis K0 frei bewegen. Man könnte also die Grennzlagen: 2 Brennpunkte fallen zusammen (Hyperbel/Ellipse), oder gar 3 Brennpunkte fallen zusammen (Parabel) näherungsweise herzustellen versuchen.
Und durch Verschiebung des Quartik-Scheitels auf K0 könnte man die Schar der konfokalen Quartiken zu erkunden versuchen.
Das könnte daran scheitern, dass zur Konstruktion ziemlich viele quadratischen Gleichungen mit meist komplexen Lösungen (im Algebra-Modul zu erkennen als undefiniert) zu bewältigen sind! Irgendwann sind dann die reellen Beziehungen überfordert!
Zum Glück gibt es den refresh-Knopf.
gebra. Im Zentrum steht die Möglichkeit, die Kurven unter Ausnutzung ihrer Eigenschaften als Ortskurven darzustellen.
Hier ein Versuch, die Kurven über ihre Eigenschaften zu charakterisieren:
Eine 2-teilige bizirkulare Quartik besitzt 4 verschiedene konzyklische Brennpunkte F1, F2, F3, F4. Der Kreis K0, auf welchem die Brennpunkte liegen, ist einer der 4 Symmetriekreise der Kurve. Einer der anderen Symmetriekreise ist imaginär. Die Spieglung an diesem imaginären Kreis ist das Produkt der Spiegelungen an den 3 anderen Kreisen.
Die Konstruktion der 2 reellen zu K0 orthogonalen Symmetriekreise ist angedeutet: man benötigt die zu K0 orthogonalen Kreise durch die Brennpunkte. Davon gibt es 6. Durch jeden Punkt der Ebene, der auf keinem der Symmetriekreise liegt, gehen genau 2 Quartiken der konfokalen Quartikschar.
Durch jeden von den Brennpunkten verschiedenen Punkt S auf K0 geht genau eine von K0 verschiedene Quartik. Der Quartik-Scheitel S ist beweglich.
Zu jeder Symmetrie gehört eine Aufteilung der Brennpunkte in zwei Brennpunktpaare und dazu 2 hyperbolische Kreisbüschel durch die Brennpunktpaare. Durch jeden Punkt der Quartik gehen 2 Brennkreise aus den Büscheln, die Quartik ist Winkelhalbierende der beiden Kreise.
Durch jeden Quartikpunkt gehen aber auch 2 Kreise der orthogonalen elliptischen Kreisbüschel. Die Quartik ist ebenfalls Winkelhalbierende dieser Kreise. Die Zuordnung zwischen diesen beiden elliptischen Kreisen haben wir im vorigen Applet genauer illustriert. Dazu: die Konstruktionen 12, -14, -13.
Zu jeder Symmetrie gehören doppelt-berührende Kreise. Spiegelt man einen der Brennpunkte an den Kreisen einer solchen Schar doppelt-berührender Kreise, so liegen die Spiegelpunkte auf dem zugehörigen Leitkreis. Aus dieser Eigenschaft folgt die Konstruktion der Quartik als Ortskurve mit Hilfe der Leitkreise.
Verfolgt man in der Animation die Zuordnung der elliptischen Kreise für zwei Brennpunkt-Paare, so stellt man fest: die Brennpunkte sind als Punktkreise der elliptischen Kreisbüschel ihren Leitkreisen zugeordnet!
Bemerkung zur Beweglichkeit der Brennpunkte und des vorgegebenen Quartik-Scheitels:
Im Prinzip kann man die Brennpunkte auf dem Kreis K0 frei bewegen. Man könnte also die Grennzlagen: 2 Brennpunkte fallen zusammen (Hyperbel/Ellipse), oder gar 3 Brennpunkte fallen zusammen (Parabel) näherungsweise herzustellen versuchen.
Und durch Verschiebung des Quartik-Scheitels auf K0 könnte man die Schar der konfokalen Quartiken zu erkunden versuchen.
Das könnte daran scheitern, dass zur Konstruktion ziemlich viele quadratischen Gleichungen mit meist komplexen Lösungen (im Algebra-Modul zu erkennen als undefiniert) zu bewältigen sind! Irgendwann sind dann die reellen Beziehungen überfordert!
Zum Glück gibt es den refresh-Knopf.
Diese Seite ist Teil des geogebra-books Kugel-Kegel-Schnitte (August 2018)