Τετραγωνισμός του κύκλου (squaring the circle)
Εισαγωγή
Τετραγωνισμός ενός κύκλου σημαίνει ότι η κατασκευή, με γεωμετρική ή αλγεβρική μέθοδο, ενός τετραγώνου με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του κύκλου. Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, προκειμένου η απόδειξη να ανάγεται πλήρως στα θεωρήματα του Ευκλείδη και, να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων.
Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο περιορισμούς. Η επίλυση του προβλήματος συνδέεται άμεσα με την υπερβατικότητα του αριθμού π: Αν κάποιος έχει καταφέρει να τετραγωνίσει τον κύκλο, σημαίνει ότι με κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει μία συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή για το π. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι εφικτό γιατί ο αριθμός π είναι υπερβατικός (δηλ. δεν μπορεί να είναι ρίζα κανενός πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές), οπότε δεν έχει συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή. Πράγματι, το ενδιαφέρον για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου εξανεμίζεται το 1882, όταν ο Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός.