Triángulos II (Propiedades básicas)
En esta sección, veremos algunas propiedades de los triángulos de importancia.
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos lados.
Para visualizar que esto es cierto, miremos la siguiente figura:
En el triángulo ABC, notamos que . Esto se debe a que la distancia de B a C directamente es mucho menor que la distancia de ir a otro punto no colineal y desde ese punto volver al punto C. El camino a es más corto que el camino c+b
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
Trazamos un triángulo cualquiera ABC. Por el vértice A trazamos una recta paralela a BC como veremos en la siguiente figura:
Por la ángulos internos en rectas paralelas, y .
También, .
Entonces,
En la siguiente figura, manipule los vértices del triángulo para corroborar la propiedad.
3. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes
Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes.
Veamos la siguiente figura:
entonces:
(a)
También, (por ángulos suplementarios). Por esto obtenemos:
(b)
Sustituyendo (a) en (b), tenemos lo siguiente:
lo cual nos resulta en:
4. En todo triángulo, el lado mayor se opone al ángulo mayor Y viceversa.
Consideremos el triángulo ABC en la siguiente figura, y supongamos que el lado CB > AB. Además, tomamos el punto E en la prolongación de AB tal que CB=BE
Como el triángulo BCE es isósceles (dos lados iguales), se tiene que .
También, como entonces:
(a)
es un ángulo exterior del triángulo AEC, entonces por la propiedad anterior: (b)
Si sustituimos (a) en (b) obtenemos:
Como entonces
Para probar su recíproco, miremos la siguiente figura del triángulo ABC y supongamos
Si comparamos los lados BC y AB tenemos las siguientes posibilidades:
- BC=AB
- BC<AB
- BC>AB
5. Area de un triángulo
El área de un triángulo es