Equazione parabola
Equazione della parabola con vertice nell'origine e asse di simmetria coincidente con l'asse y[modifica | modifica wikitesto]
Parabola con vertice: nell'origine e fuoco sull'asse y e direttrice parallela all'asse x.Sia {\displaystyle p>0}
la distanza fuoco-direttrice.Il fuoco ha coordinate {\displaystyle F\left(0;{\frac {p}{2}}\right)}
.La direttrice {\displaystyle d}
ha equazione {\displaystyle y=-{\frac {p}{2}}}
.Il punto {\displaystyle H\left(0;-{\frac {p}{2}}\right)}
è la proiezione ortogonale di {\displaystyle F}
su {\displaystyle d}.Il punto medio di {\displaystyle FH}
è {\displaystyle O(0;0)}
ed esso appartiene alla parabola essendo equidistante dal fuoco e dalla direttrice.Tale punto è detto vertice della parabola.Per la definizione di parabola il punto {\displaystyle P(x;y)}
appartiene alla parabola se e solo se la distanza dal fuoco {\displaystyle PF}
è uguale alla distanza dalla direttice {\displaystyle PQ}
e dunque {\displaystyle PF=PQ}
dove {\displaystyle Q}
è la proiezione ortogonale di {\displaystyle P}
sulla direttrice:{\displaystyle {\sqrt {(x-0)^{2}+(y-{\frac {p}{2}})^{2}}}=\left|y+{\frac {p}{2}}\right|}
Elevando al quadrato e dopo opportune semplificazioni si ottiene {\displaystyle 2py=x^{2}}
da cui {\displaystyle y={\frac {1}{2p}}x^{2}}
.Posto {\displaystyle a={\frac {1}{2p}}}
si ottiene la nota equazione elementare della parabola{\displaystyle y=ax^{2}.}
Questa parabola ha vertice nell'origine degli assi cartesiani e asse di simmetria coincidente con l'asse delle ordinate (asse {\displaystyle y}
).Rispetto al parametro a il fuoco ha coordinate {\displaystyle F\left(0;{\frac {1}{4a}}\right)}
e la direttrice ha equazione {\displaystyle y=-{\frac {1}{4a}}}
.
Parabola con vertice: nell'origine e fuoco sull'asse y e direttrice parallela all'asse x.Sia {\displaystyle p>0} la distanza fuoco-direttrice.Il fuoco ha coordinate {\displaystyle F\left(0;{\frac {p}{2}}\right)}.La direttrice {\displaystyle d} ha equazione {\displaystyle y=-{\frac {p}{2}}}.Il punto {\displaystyle H\left(0;-{\frac {p}{2}}\right)} è la proiezione ortogonale di {\displaystyle F} su {\displaystyle d}.Il punto medio di {\displaystyle FH} è {\displaystyle O(0;0)} ed esso appartiene alla parabola essendo equidistante dal fuoco e dalla direttrice.Tale punto è detto vertice della parabola.Per la definizione di parabola il punto {\displaystyle P(x;y)} appartiene alla parabola se e solo se la distanza dal fuoco {\displaystyle PF} è uguale alla distanza dalla direttice {\displaystyle PQ} e dunque {\displaystyle PF=PQ} dove {\displaystyle Q} è la proiezione ortogonale di {\displaystyle P}sulla direttrice:{\displaystyle {\sqrt {(x-0)^{2}+(y-{\frac {p}{2}})^{2}}}=\left|y+{\frac {p}{2}}\right|}Elevando al quadrato e dopo opportune semplificazioni si ottiene {\displaystyle 2py=x^{2}} da cui {\displaystyle y={\frac {1}{2p}}x^{2}}.Posto {\displaystyle a={\frac {1}{2p}}} si ottiene la nota equazione elementare della parabola{\displaystyle y=ax^{2}.}Questa parabola ha vertice nell'origine degli assi cartesiani e asse di simmetria coincidente con l'asse delle ordinate (asse {\displaystyle y}).Rispetto al parametro a il fuoco ha coordinate {\displaystyle F\left(0;{\frac {1}{4a}}\right)} e la direttrice ha equazione {\displaystyle y=-{\frac {1}{4a}}}.