Anexo. Recíproco del teorema de la altura
Este apartado pertenece al libro de GeoGebra Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery.
El conocido como "segundo teorema de Tales" dice lo siguiente:
- Sea C un punto de la circunferencia de diámetro AB, distinto de A y de B. Entonces, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo, pues el ángulo (γ) en C es recto.
Ya que, según anuncia el teorema, en los puntos de la circunferencia se consigue que el ángulo que abarca el diámetro sea recto, podemos intuir que la circunferencia es el lugar geométrico límite o frontera entre dos regiones planas, su interior y su exterior, en donde el ángulo es, respectivamente, mayor y menor que 90º.
Efectivamente, así es. La siguiente imagen muestra sombreados (en rojo) los puntos del interior de la circunferencia. En ellos, el ángulo γ es mayor que un ángulo recto. Y, en todo el exterior, es menor.
Por lo tanto, el recíproco del segundo teorema de Tales también es cierto:
- Si ABC es un triángulo rectángulo de hipotenusa AB, entonces C descansa en la circunferencia de diámetro AB.
Recordemos ahora lo que dice el teorema de la altura:
- En todo triángulo rectángulo la altura (c) sobre la hipotenusa es igual a la media geométrica entre las proyecciones ortogonales (a y b) de los catetos en la hipotenusa.
Ya que, según anuncia el teorema, en los puntos de la circunferencia se consigue que el cuadrado de la altura coincida con el producto de las proyecciones de los catetos, podemos intuir que la circunferencia es el lugar geométrico límite o frontera entre dos regiones planas, su interior y su exterior, en donde el cuadrado de la altura es, respectivamente, mayor y menor que el producto de las proyecciones.
Sin embargo, ahora no es así. La siguiente construcción muestra sombreados (en rojo) los puntos del interior de la circunferencia. En ellos, el cuadrado de la altura es menor que el producto de las proyecciones. Pero no sucede lo contrario en todo el exterior de la circunferencia.
Tal como mostraron, usando Discovery, F. Etayo, N. de Lucas, T. Recio y M. P. Vélez en [5], existe otra región, limitada por las ramas de una hipérbola equilátera, en donde el cuadrado de altura vuelve a ser menor que el producto de las proyecciones. En los puntos de la hipérbola, la tesis del teorema de la altura vuelve a ser cierta, a pesar de que en ellos el triángulo ABC no es rectángulo, sino "pseudo-rectángulo", como lo denominan los autores de ese artículo. Si en los triángulos rectángulos es la suma de dos ángulos igual a 90º, en los pseudo-rectángulos lo es su diferencia (lo que equivale a decir que el ángulo en C es el complementario del doble del ángulo en A, en una rama de la hipérbola, o del ángulo en B, en la otra rama).
Por lo tanto, el recíproco del teorema de la altura no es cierto, a no ser que en el enunciado del teorema interpretemos "hipotenusa" estrictamente como el segmento AB (obligando a la proyección de C a permanecer en este segmento) y no como la recta AB. 