El plano polar

Autor:Sabino

Trabajo de servicio social realizado por Sabino Isaac Cano Paez bajo la asesoría de la profesora Arilín Susana Haro Palma.

Información General.

La siguiente actividad corresponde al tema "Sistema de Coordenadas Polares" de la unidad 2 del curso de Geometría Analítica 1. Si quieres consultar la explicación de dicho tema, puedes acceder al siguiente material:

Notas: Coordenadas Polares.
Video: Coordenadas Polares.

Mini repaso

Recordemos que los elementos necesarios para trazar un plano polar son el polo (análogo al punto de origen), dado por un punto , y el eje polar (análogo al eje ), dado por un rayo que emana del polo. En este contexto, las coordenadas polares del punto será el par de números , donde es el radio y es el ángulo entre el eje polar y el segmento .

Esquema general del plano polar.

Coordenadas polares, ¿con radio negativo?

Es interesante preguntarse qué valores puede tomar el radio de las coordenadas polares de algún punto . Dado que es la distancia del polo al punto , es tentador decir que sólo toma valores positivos. Sin embargo, en matemáticas nos gustas generalizar conceptos para así tener más posibilidades. Es por esto que extenderemos los valores que puede tomar de la siguiente forma: Tomemos un punto con coordenadas polares , donde es positivo y por ende es negativo. Diremos que el punto con coordenadas polares es el simétrico de respecto al polo . Es decir, el punto es tal que y son colineales y es el punto medio de . Por lo tanto, podemos interpretar al signo negativo como un cambio de dirección en la recta que une al punto con el polo . A continuación se ilustran los puntos con coordenadas polares y . Juega cambiándolos de posición y verificando que uno es el simétrico del otro (respecto al polo).

Radio positivo y negativo.

Coordenadas polares, ¿con ángulo negativo?

Ahora que sabemos cómo interpretar una coordenada polar con radio negativo, discutamos la interpretación de ángulos negativos. Si tenemos un punto

con coordenadas polares

, con un ángulo

positivo, diremos que el punto

con coordenadas polares

es el punto simétrico de

respecto al eje polar. Es decir,

es tal que el eje polar es la mediatriz del segmento

. Por lo tanto, podemos interpretar a un punto con ángulo negativo como una reflexión del correspondiente punto con ángulo positivo, respecto al eje polar. A continuación se ilustran los puntos con coordenadas polares

. Juega cambiándolos de posición y verificando que uno es el simétrico del otro (respecto al eje polar).

Ángulo negativo.

Variando los valores del radio y del ángulo.

Ahora que podemos interpretar radios y ángulos con valores negativos, juega variando dichos parámetros con los deslizadores correspondientes y observa el comportamiento del punto determinado por dichos valores.

Cambio en el radio.

Si tenemos un ángulo fijo , podemos graficar un punto cuyas coordenadas polares sean , con cualquier número real. Si variamos el valor de y graficamos los puntos con coordenadas , estos puntos dibujarán una recta que pasa por el polo y que tiene ángulo de inclinación . Observa cómo se visualiza esto para los distintos valores de y .

Cambio en el ángulo.

Ahora tomemos un radio fijo . De nuevo podemos graficar un punto con coordenadas polares , dónde puede ser cualquier ángulo (positivo o negativo). Si variamos el valor de y graficamos las coordenadas , los puntos que resultan describirán una circunferencia de radio y centro en el polo. Observa este fenómeno moviendo las barras espaciadoras para cambiar el valor del ángulo. También puedes utilizar la barras espaciadora gris para cambiar el valor del radio , haciendo que tome valores pequeños y grandes.