Schritt 4: Vermutung zur Tangentensteigung
Steigung der Funktion
Die Steigung der Funktion an einer Stelle x ist gleich der Steigung der Tangente.
Es ist ziemlich aufwändig, die Steigung der Tangente immer über die Steigung der Sekante anzunähern. Deswegen versuchen wir allgemeiner die Ableitungsfunktion zu bestimmen, mit der wir die Steigung der Tangente an beliebigen Stellen x bestimmen können.
Dazu betrachten wir zunächst eine ziemlich einfache Funktion .
Aufgabe: Steigung der Funktion an der Stelle x=1
Ergebnis:
Weil wir die Tangentensteigung berechnet haben, wissen wir:
Die Steigung der Kurve an der Stelle x=1 ist: .
Aufgabe: Steigung an weiteren Stellen x
Die Arbeit, die Steigung der Tangente aus den Sekantensteigungen zu berechnen, lassen wir nun Geogebra erledigen.
Verschiebe im Graphen von den Berührpunkt. Geogebra zeichnet jeweils die Tangente ein. Lies deren Steigung aus dem eingezeichneten Steigungsdreieck ab und bestimme die Steigung für die folgenden Berührpunkte.
Übertrage die Tabelle unterhalb der Grafik in dein Heft und fülle sie aus.
Tangenten an beliebigen Berührpunkten
Vermutung
Damit weißt du auch, dass die Ableitung an den Stellen gleich der Steigung der Tangente ist:
Beispielsweise ist oder .
Stelle eine Vermutung auf, wie man die Steigung der Tangenten für einen beliebigen Berührpunkt berechnen kann, d.h. was ist
Was ist