Grenzverhalten der Funktionsgrafen
Was heißt Grenzverhalten?
Bei ganzrationalen Funktionen strebt der Funktionswert für sehr große Werte von , also 100, 1000 und noch viel größer, gegen oder gegen . Das gleiche gilt für sehr kleine Werte, also -100, -1000 oder noch kleiner.
Dieses Verhalten des Funktionsgrafen nennt man sein Grenzverhalten.
Suche den Term mit dem Leitkoeffizienten
Um das Grenzverhalten einer ganzrationalen Funktion zu analysieren, reicht es, nur den Term mit dem Leitkoeffizienten anzuschauen:
Das Grenzverhalten der Funktion wird nur von dem Term bestimmt.
Das Grenzverhalten der Funktion wird nur von dem Term bestimmt.
Warum ist das so?
Wenn man zum Beispiel bei der Funktion das x mit dem höchsten Exponenten ausklammert, dann erhält man:
Für sehr große Beträge von werden alle Brüche, bei denen oder eine Potenz von im Nenner stehen, sehr klein. Übrig bleibt daher für große Beträge von schließlich nur noch .
Das beschreibt man in der Mathematik mit einem "Limes":
das gleiche gilt auch, wenn gegen strebt:
Im folgenden Applet werden jeweils der Graf einer ganzrationalen Funktion mit dem des Leit-Terms verglichen:
Einfache Regeln zur Analyse
- Ist der Leitkoeffizient einer Funktion und ist eine gerade Zahl, dann gilt: und D.h. der Funktionsgraf geht vom 2ten in den 1ten Quadranten
- Ist der Leitkoeffizient einer Funktion und ist eine gerade Zahl, dann gilt: und D.h. der Funktionsgraf geht vom 3ten in den 4ten Quadranten
- Ist der Leitkoeffizient einer Funktion und ist eine ungerade Zahl, dann gilt: und D.h. der Funktionsgraf geht vom 3ten in den 1ten Quadranten
- Ist der Leitkoeffizient einer Funktion und ist eine ungerade Zahl, dann gilt: und D.h. der Funktionsgraf geht vom 2ten in den 4ten Quadranten
