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GeoGebra

Elipse

Autor:Leonardo Antonio Borgo
Construindo a elipse do mesmo modo que Apolônio, através da intersecção de um plano com um cone duplo, teremos o seguinte lugar geométrico.
Fonte: Autor
Fonte: Autor
Vimos que os planetas do Sistema Solar orbitam o Sol em trajetórias elípticas. As órbitas dos planetas na imagem a seguir estão em escalas e o ponto alaranjado no centro representa o Sol e o mesmo foi ampliado em 4 vezes o seu tamanho. Os números indicam a distância do planeta até o Sol. Esta unidade de medida chama-se Unidade Astronômica (UA), equivalente a 150 milhões de quilômetros.
Fonte: http://www.astro.iag.usp.br/~gastao/PlanetasEstrelas/sistemasolar.html
Fonte: http://www.astro.iag.usp.br/~gastao/PlanetasEstrelas/sistemasolar.html

Em termos matemáticos, a elipse é um lugar geométrico definida pelos pontos no plano cartesiano cuja a distância a dois pontos fixos é constante, isto é, Caso não saiba o que é lugar geométrico, clique no link (https://impa.br/wp-content/uploads/2020/01/PAPMEM_JAN_2020_LG1-Papmem.pdf). Vamos nomear esses dois pontos fixos de e . Note que eles podem ser pontos quaisquer do plano. Estes pontos são chamados de focos. Nesta primeira interação com o Geogebra, siga alguns passos e observe o que está acontecendo. 1) Mova o ponto "P(x,y)" e observe os valores no canto superior esquerdo. 2) Altere a posição dos pontos "F1" e "F2" para gerar outra elipse e, em seguida realize novamente o passo 1.

Note que o valor da distância é constante até o momento em que alteram-se os focos gerando um novo valor. Porém, quando varia o ponto P novamente, esta distância torna-se constante novamente.

Equação da elipse

Acabamos de conhecer a definição de elipse e fizemos também uma breve investigação matemática para verificar o que acontece quando alteramos os focos e o ponto P. Mas qual é a equação que gera todos os pontos da elipse? Primeiramente vamos estudar a equação da elipse que esteja centrada na origem, ou seja, o centro da elipse coincidirá com o centro do plano cartesiano. Para responder essa pergunta temos dois caminhos: diretamente a "fórmula", chamada de equação reduzida ou deduzi-la através da definição via lugar geométrico. Caso queria conhecer a demonstração matemática clique no arquivo a baixo.

Demonstração da elipse

Demonstração elipse.pdf

Demonstração elipse.pdf

Os valores de e são reais, com e diferentes de zero, fixos inicialmente. Portanto é comum aparecer radicais, pois os valores são elevados ao quadrado eliminando a raiz.
Image
Agora que conhecemos qual é a equação reduzida da elipse, construa na janela de interação a seguir respeitando os passos a seguir. 1) Ao lado esquerdo digite a equação reduzida. 2) Utilize os controles deslizantes para verificar o que acontece com a elipse. (O GeoGebra adicionará automaticamente os controles deslizantes)

Agora responda as perguntas a seguir

O que acontece quando altero os valores de a?

Assinale a sua resposta aqui
  • A
  • B
  • C
Verifique minha resposta (3)
Perceba que por mais que alteremos os valores de a e b, a elipse ainda esta centrada na origem, ou seja, no ponto (0,0). O que precisa ter na equação reduzida para que haja uma translação ou um deslocamento deste meu lugar geométrico? Se lembrarmos da circunferência, por exemplo, onde o centro da circunferência é a origem e raio igual a um. Para esta mesma circunferência esteja com o centro no ponto (2,1) teremos que realizar uma translação, ou seja, a equação será . Realizando um processo análogo na equação da elipse, obteremos com e diferente de zero:

O que acontece quando altero os valores de b?

Assinale a sua resposta aqui
  • A
  • B
  • C
Verifique minha resposta (3)
Image
Caso queira entender como encontrar esta equação clique no arquivo a seguir.

Demonstração elipse transladada

Demonstração elipse transladada.pdf

Demonstração elipse transladada.pdf

Esta equação permite que você desloque a elipse para qualquer lugar do seu plano cartesiano, então construa na janela a seguir seguindo os seguintes passos. 1) Ao lado esquerdo digite a equação reduzida que acabamos de encontrar com e . 2) Utilize os controles deslizantes para verificar o que acontece com a elipse.

Agora responda as perguntas a seguir

O que acontece quando altera o valor de ?

Assinale a sua resposta aqui
  • A
  • B
  • C
Verifique minha resposta (3)

O que acontece quando altera o valor de ?

Assinale a sua resposta aqui
  • A
  • B
  • C
Verifique minha resposta (3)

Recomendação

Tome nota em seu caderno para que não perca algumas informações importantes. 1° o que acontece quando altero os valores de a e b? 2° o que acontece quando altero os valores de e ?

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