Sinussatz und Kosinussatz
Herleitung der Fläche eines Dreiecks
Im folgenden Applet basteln wir Schritt für Schritt ein Dreieck und leiten dabei dessen Flächeninhalt her. Die einzelnen Schritte sind unten genau beschrieben.
- Schritt: Wähle drei Punkte A,B und C
- Schritt: Seite c liegt gegenüber des Punktes C und verbindet A mit B
- Schritt: ist eine Strecke, die durch den Punkt C geht und die die Seite c im rechten Winkel schneidet
- Schritt: Seite b liegt gegenüber von Punkt B
- Schritt: Seite a liegt gegenüber von Punkt A
- Schritt: Die Fläche ist eingezeichnet
- Schritt: Beachte, dass die Seiten a und b jeweils einen Teil der Fläche in die Hälfte teilen
- Schritt: Der Flächeninhalt unseres Dreiecks ist
Herleitung des Sinussatzes
Die Winkel und zeichnen wir bei den Punkten A und B ein. Wie wir einfach mit der Formel errechnen können, ergeben sich und . Diese beiden Formeln können wir nun nach umformen und erhalten: .
Für den Flächeninhalt unseres Dreiecks gilt daher:
Die obigen 8 Schritte hätten wir uns genauso mit b und (im Bild eingezeichnet) oder mit a und überlegen können. Für den Flächeninhalt A des Dreiecks gilt
können wir auch (siehe Abbildung) mit ausdrücken. Wir erhalten für den Flächeninhalt:
Durch Division durch erhalten wir:
Das ist der Sinusssatz