Problemas de Otimização
Imagine o seguinte problema: Com 80 metros de cerca, um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto à margem do rio não é cercado. Quais devem ser as medidas, em metros, da região para que a área cercada seja a maior
possível? A figura abaixo ilustra a situação.
A ideia é expressar a área da região retangular em termos da altura . Temos que
Note que o valor de está restrito ao intervalo , pois só há 80 metros de cerca. Como descobrir o valor de que maximiza a área ?
Como a função é quadrática em , podemos resolver esse problema usando a técnica de "completar quadrado":
Vemos que nessa nova forma, a função está reescrita como "800 menos alguma coisa maior ou igual a zero", que é o termo . O menor valor que ele pode assumir é zero, exatamente quando . Portanto o maior valor possível para a área é , quando o retângulo tem uma base de 40 metros e uma altura de 20 metros. O gráfico abaixo nos ajuda a entender a dependência entre a área e a altura. Note que a escala nos eixos é diferente para melhorar a visualização.
Exercício
Qual o menor valor que a função pode assumir?
Problema: A altura de um foguete acima do solo é dada pela função para . Qual a altura máxima que ele atinge? Em que instante?