Ejemplo didáctico: Spline cúbica con frontera sujeta
Vamos a hallar la spline cúbica con frontera sujeta que pasa por los puntos , , y con los valores de las pendientes en los extremos iguales a cero.
Manos a la obra
- En la celda B2 introduce el comando "=-1" para guardar el valor de . Realiza este mismo procedimiento en las celdas B3-B5 para guardar los valores de y respectivamente.
- En la celda C2 introduce el comando "=0" para guardar el valor de . Realiza éste mismo procedimiento en as celdas C3-C5 para guardar los valores de y respectivamente.
- Recuerda que , así que para guardar el valor de , introduce en la celda D2 el comando "=B3-B2" (ésto gracias a que los valores de y se guardaron en las celdas B3 y B2 respectivamente).
- Sigue las indicaciones del paso 3 para guardar los valores de y en las celdas D3 y D4 respectivamente.
- Ya que el ejercicio nos pide que las pendientes en los extremos sean iguales a cero, guardaremos el valor de introduciendo en las celdas F2 y F4 el comando "=0"
- Las celdas A8:H11 proporcionan una guía de como debemos de construir nuestra matriz . En las celdas A13:H16 introduzca los valores de la matriz y la matriz recordando que para introducir una ecuación en las celdas se debe escribir antes el comando "=". (Recuerda que para realizar los cálculos necesarios)
- Al resolver el sistema de ecuaciones bajo cualquier método conocido, las soluciones son , , y . Éstos valores ya están cargados en las celdas B19-B22 respectivamente.
- Recuerda que , así que para guardar el valor de , introduce en la celda C19 el comando "=(C3-C2)/D2-(D2(2B19+B20))/3" (es más sencillo llamar a los valores que ya conocemos guardados en las celdas que escribir los elementos de la ecuación desde cero).
- Sigue las indicaciones del paso 8 para guardar los valores de y en las celdas C20 y C21 respectivamente.
- Recuerda que , así que para guardar el valor de , introduce en la celda D19 el comando "=(B20-B19)/(3D2)".
- Sigue las indicaciones del paso 10 para guardar los valores de y en las celdas D20 y D21 respectivamente.
- Ahora que conocemos el valor de todas las variables, procederemos a construir los trazadores cúbicos que componen la spline cúbica. Recuerda que los trazadores tienen la forma en el intervalo . Entonces, para encontrar el primer trazador y graficarlo en el applet de geogebra, introduciremos en la celda F19 el comando "si(-1≤x≤ 2,C2+C19(x - B2)+B19(x-B2)²+D19 (x-B2)³)" (El comando "si(,función)" se compone de dos partes, la primera delimita el intervalo donde se graficará la función; la segunda parte es la función a graficar).
- Sigue las indicaciones del paso 12 para guardar los valores de y en las celdas F20 y F21 respectivamente.
- Utiliza la casilla de control para visualizar la spline cúbica natural que interpola éstos mismos puntos y observar la diferencia con la spline cúbica fija que acabamos de construir. Nota que en éste caso la pendiente de los extremos de la spline cúbica fija que construimos es cero, y la curvatura de la spline cúbica fija esta ajustada para que ésto suceda; dependiendo del valor que elijamos de y y realizando los cálculos necesarios, podemos ajustar la curvatura y pendiente en los extremos de la spline cúbica fija.