parabeln - confocal
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
Parabeln und ihre Möbius-Transformierten besitzen 1 einfachen Brennpunkt f und einen dreifach zählenden Brennpunkt . Eine Zerlegung dieser 4 Brennpunkte in 2 Punkte-Paare ist nur als { f,} und { ,} möglich. Dies liefert (euklidisch) das Geradenbüschel durch f und ein Parallelen-Büschel, z.B. die Parallelen zur -Achse. „Leitkreis“ zu f ist jede Orthogonale zum Parallelen-Büschel. Ein Brennstrahl aus dem Parallelen-Büschel schneide den Leitkreis in q. Zu dem Berühr-Kreis an den Leitkreis in q durch f gibt es genau einen zum Berühr-Kreis orthogonalen Brennstrahl durch f. Der Schnittpunkt p der Brennstrahlen ist ein Punkt der zugehörigen Parabel, die Mittelsenkrechte von f q ist eine Tangente durch p an die Parabel. Gespiegelt an der Tangente werden die Brennstrahlen und f und q vertauscht. Dies ist die übliche Brennpunkt-Leitgeraden Konstruktion der Parabel. Die umständlich erscheinende Konstruktionsbeschreibung ist jedoch im Prinzip für alle in diesem book zur Debatte stehenden Kurven mit 4 Brennpunkten gültig!
Geht man zu den orthogonalen Brennkreis-Büscheln von den oben verwendeten Büscheln über (konzentrische Kreise um f
und Parallelen zur -Achse), so sind die konfokalen Parabeln ebenfalls Winkelhalbierende dieser Kreisbüschel.
Nun funktioniert eine Leitkreis - Brennpunkt Konstuktion nicht mehr!
Die Spiegelung-Punkte des Brennpunkts an den doppelt-berührenden Kreisen liegen auf der Symmetrie-Achse
(z.B. der -Achse), diese wäre „Leitgerade“, sie nützt aber nicht zur Konstruktion!
Die doppelt-berührenden Kreise berühren die Parabeln von Innen, die Mittelpunkte liegen auf der Symmetrie-Achse.
Wie ist die Zuordnung der konzentrischen Kreise zu den zur Symmetrie-Achse orthogonalen Parallelen, die sich
auf einer vorgegebenen Parabel schneiden?
Den Schnittpunkt einer Normalen zur Symmetrie-Achse mit dieser spiegele man am Parabelscheitel bzw. an der
Scheiteltangenten, man erhält einen Achsenschnittpunkt mit dem zugeordneten konzentrischen Kreis:
Normale und konzentrischer Kreis schneiden sich auf der Parabel!
Vorgegeben sind nur der Brennpunkt und ein Scheitel, die Symmetrieachse ergibt sich daraus.
Durch Variation des Scheitels auf der Symmetrie-Achse erhält man mit dieser Konstruktion alle konfokalen Parabeln
mit dieser Symmetrie-Achse.
Bei dieser Konstruktion wird dem Brennpunkt als Punkt-Kreis die Leitgerade und umgekehrt zugeordnet.
Diese Zuordnung ist, auf die speziellen Verhältnisse übersetzt, gültig für alle bizirkularen Quartiken!