Teorema de Thales, espejos y doble observación
Altura de un objeto cuando su base no es accesible
Una aplicación práctica del teorema de Thales, o más concretamente, de la semejanza de triángulos, es el cálculo de la altura de objetos difíciles de medir.
Tan solo necesitamos
- un espejo, que colocaremos en el suelo,
- Cuánto medimos nosotros, para poder comparar. Bueno, para ser más exactos, cuánto medimos hasta nuestros ojos, que es desde donde actúa nuestra vista.
- Si podemos medir hasta la base del objeto, el problema resultará más sencillo (ver esta actividad).
- Si no es accesible, podemos usar dos observaciones y un sistema de ecuaciones. ¡Veamos la forma!
- En el siguiente applet, marca la casilla "Usar espejo" y luego "Ver solución" para ver cómo se haría el cálculo usando semejanza de triángulos, y un posible planteamiento para el sistema de ecuaciones.
- Este sistema suele poderse resolver cómodamente por el método de igualación. Echa un vistazo a la resolución de algún problema para aprender la mecánica, antes de resolver tus propios ejercicios.
Instrucciones
- Primero, intenta hacer una estimación "a ojo" del ejercicio propuesto. Podemos desplazar a la persona (pulsando sobre ella y arrastrando), para facilitar la comparación. Introduce el valor estimado en la casilla.
- Marcando la casilla Usar espejo, pondremos nuestro espejo en el suelo. Podemos moverlo si queremos.
- En pantalla se mostrarán los datos necesarios para los cálculos:
- nuestra distancia al espejo,
- la del espejo a la base del objeto que queremos medir y
- qué zona del objeto se ve reflejada en el espejo.
- Utilizando el teorema de Thales podemos calcular la altura pedida.
- Escribiremos el valor obtenido en la casilla correspondiente. No hay que preocuparse si es algo diferente al de la nuestra estimación. De hecho, también podrá haber un poco de error respecto la solución verdadera debido a los redondeos.
- Como pequeña ayuda para plantear el sistema, hemos indicado las dos variables a utilizar: "h" (la que nos interesa) y "x", que la necesitaremos como paso intermedio. Por supuesto, hay otras formas correctas de plantear y resolver el ejercicio.
- Marcando la casilla Ver solución, podremos comprobar si nuestros cálculos eran correctos.
- Importante: siempre que tomamos medidas, será necesario redondear, con lo que introduciremos pequeños errores debido al redondeo.
- Aquí, redondearemos todo con dos decimales.
- Al indicar la solución, se mostrará el valor real y el que se obtiene con los redondeos, haciendo notar cuál ha sido el error.
- Este error de redondeo no es evitable al resolver el ejercicio, pues las propias mediciones de los datos se nos han dado redondeadas. Por tanto, no se tendrá en cuenta a la hora de corregir los ejercicios.
- Pulsando el botón Otro Ejemplo (abajo a la izquierda), se nos propondrá un problema nuevo, que podemos resolver de forma similar.
- Pulsando el botón Ejercicios, podremos resolver nuestros propios enunciados.
- Aunque en la actividad solo hay que introducir los resultados, debemos resolverlos en nuestra libreta, con una buena presentación para que la calificación del applet sea tomada en cuenta por el profesor/a.
- Detalles de los ejercicios:
- Aunque se mide el tiempo, no influye en la calificación.
- Cada ejercicio correcto vale 3 puntos. Los fallos se penalizan con 0.5 puntos.
- El ejercicio es correcto si tanto la aproximación como el cálculo con el teorema de Thales lo son.
- Tendremos un pequeño contador con cuántos ejercicios se han resuelto correctamente, y el total de ejercicios intentados.
- Tanto la aproximación como el cálculo deben ser suficientemente buenos. En la aproximación se permite un margen de error de 2m y en el cálculo con el espejo, de 0.3m
- La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser verde.
- Podemos hacer tantos ejercicios como queramos.
Nuestro turno
Ahora que conocemos esta actividad, tenemos un método aproximado para calcular la altura de objetos, como un edificio, un árbol, una farola, etc. usando la técnica de las dos mediciones y el sistema de ecuaciones.
- En la práctica, este método será algo más impreciso que en nuestro applet, pues siempre cometeremos algo de error al medir las distancias y al asegurarnos de estar viendo en el espejo la parte superior del objeto que queremos medir.
- Pero aún así, estaremos obteniendo una buena aproximación.
- Un método para afinar la medida podría ser efectuar varias observaciones y quedarnos con la media de ellas.
- Elegimos un objeto cuya altura queramos medir, como puede ser nuestro instituto, un árbol cercano, una escultura, etc. Si tenemos alguna forma de obtener el dato correcto, nos vendrá genial para contrastar nuestro resultado.
- Medimos nuestra propia altura, desde el suelo hasta los ojos.
- Situamos un espejo en el suelo, a cierta distancia del objeto a medir. Al igual que en el applet, no hay problema si un objeto intermedio nos impide medir esa distancia.
- Nos vamos alejando, mirando el reflejo del objeto en el espejo hasta que veamos la parte superior.
- Anotamos cuánto nos hemos alejado del espejo.
- Efectuamos otra medición similar a la realizada en los dos pasos anteriores.
- Realizamos los cálculos utilizando proporciones, al igual que en el applet anterior.
Referencias
Fuentes de las imágenes:
- Personajes "romanos", pertenecientes al proyecto MatesGG. CC BY SA.
- Alumnos: generados mediante IA (copilot). CC0.
- Árbol: efendi.sign - Flaticon.
- Casa: generado por IA (copilot). CC0.
- Coche: generado por IA (copilot). CC0.
- Columna: https://openclipart.org/detail/242000/column-2.
- Farola: https://openclipart.org/image/800px/282326.
- Palmera: https://openclipart.org/detail/206130/brighter-palm-tree.
- Silo: fotografía de Beatriz Blanco Otano. CC BY SA.
- Seto: generado por IA (copilot). CC0.
- Torre: generado por IA (copilot). CC0.