III.1. Vom Sechseck zum Quadrat
(Nach einem Plakat zum Bundeswettbewerb Mathematik 1979)
Diese Zerlegung des regelmäßgen Sechsecks kann man wie folgt herleiten: Zunächst wird das Sechseck so zerlegt, dass aus den Teilen ein Parallelogramm gebildet werden kann, bei dem eine Seite bereits die Seitenlänge des flächengleichen Quadrats besitzt. Im weiteren Schritt wird das Parallogramm so in weitere Teile zerlegt, dass aus ihnen das Quadrat gebildet werden kann. Sie können diese zwei Schritte nachvollziehen, wenn Sie im Applet die Teile bewegen.
Konstruktion der Quadratseite bei der zunächst dargestellten Zerlegung:
Für den Flächeninhalt des Sechsecks mit der Seitenlänge gilt . Für die Anwendung des Kathetensatzes wird das rechtwinklige Dreieck konstruiert, dessen Hypotenuse die Länge besitzt sowie einen Hypotenusenabschnitt der Länge . Die Strecke hat damit die Länge der Seite eines flächengleichen Quadrats. Zur Aufteilung des Sechsecks:
ist ein Punkt auf einem Abschnitt der Strecke , Sie können ihn im Applet bewegen. Die Spiegelung von an Der Geraden liefert . Von und werden die Lote auf gefällt, diese liefern und .
Konstruktion der Quadratseite bei der Zerlegung nach Paul Busshop (Belgier, 19. Jhdt.):
Zur Darstellung dieser Zerlegung aktrivieren Sie das entsprechende Kontrollkästchen.
Für die Anwendung des Kathetensatzes ist die Hypotenuse mit der Länge aus Platzgründen nur zur Hälfte von bis dargestellt, der Thaleskreis ist deshalb ebenfalls unvollständig. Der Hypotenusenabschnitt hat die Länge . Weiterhin gilt , , .
Zum Bewegen der Teile aktivieren Sie das Kontrollkästchen im Applet, zur Anzeige der Konstruktion deaktivieren Sie es.