Paralelism - problemă
Demonstrează sintetic și vectorial că mijloacele laturilor unui patrulater convex oarecare sunt vârfurile unui paralelogram.
Demonstrația vectorială
= ()= (1)
Analog, se obține (2)
Din (1) și (2) avem că și pentru dreptele suport ale vectorilor și sunt diferite rezultă că și .
Patrulaterul EHGF are 2 laturi opuse paralele și de lungimi egale de unde rezultă că EHGF este paralelogram.
Demonstrația sintetică 1 - cu Teorema lui Thales.
Se aplică Teorema lui Thales în triunghiurile ABD și, respectiv, CDB.
Avem deci (1). Analog, obținem (2).
Din (1) și (2) rezultă că (3).
Apoi, aplicăm Teorema lui Thales în triunghiurile ABC și, respectiv, ADC și printr-un raționament similar cu raționamentul anterior obținem că (4).
Din (3) și (4) rezultă că patrulaterul EHGF are 2 perechi de laturi opuse paralele, deci EHGF este paralelogram.
Demonstrația sintetică 2 - cu linii mijlocii
EH și FG sunt linii mijlocii în triunghiul ABD și, respectiv, CBD.
Se obține că și că .
Rezultă că patrulaterul EHGF are 2 laturi opuse paralele și de lungimi egale de unde rezultă că EHGF este paralelogram.
Compară cele 3 rezolvări din punct de vedere al simplităţii, corectitudinii, clarităţii. Scrie concluzia la care ai ajuns în spațiul de mai jos.