1-teilig: Konstruktionen
Ist die Schnittkurve der Kugel mit einer zweiten Quadrik einteilig ohne Doppelpunkte, so besitzt die Schnittkurve 2 orthogonale Symmetriekreise. Die 4 Brennpunkte liegen paarweise symmetrisch auf den Symmetriekreisen.
Durch jeden Punkt S auf einem Symmetriekreis, von den Brennpunkten abgesehen, geht genau eine der, vom Symmetriekreis verschiedenen, konfokalen Quartiken. Wir betrachten den Symmetriekreis K0 durch F1 und F2. Der Scheitelkreis (punktiert) ist ein die Quartik doppelt-berührender Kreis.
Durch jeden Punkt der Quartik geht ein Kreis aus dem hyperbolischen Kreisbüschel durch F1 und F2 und ein Kreis aus dem elliptischen Kreisbüschel mit den Grundpunkten F3 und F4. Die Quartik ist Winkelhalbierende dieser beiden Kreise.
Die wechselseitige Zuordnung der sich auf der Quartik schneidenden Kreise ist verblüffend einfach: man nehme einen Kreis aus dem einen Kreisbüschel, spiegele einen der Schnittpunkte mit K0 am Scheitelkreis, und bestimme zum Bildpunkt den zugehörigen Kreis aus dem anderen Büschel: die Kreise schneiden sich, wenn sie sich reell schneiden, auf der Quartik! Hierzu die Konstruktionen 12, bzw. 34. Leider ist uns keine einfache Konstruktion des zweiten Scheitelkreises aus dem durch S vorgegebenen ersten Scheitelkreis gelungen!
Bewegen Sie den hell-lila Kreis so, dass er als zweiter Scheitelkreis dienen kann!
Die Leitkreis-Konstruktionen beruhen auf der folgenden allgemeinen Eigenschaft aller bizirkularen Quartiken: zu jeder Symmetrie gibt es die Quartik doppelt-berührenden Kreise.
Spiegelt man einen ausgewählten Brennpunkt an den doppelt-berührenden Kreisen einer Schar, so liegen die Bildpunkte auf einem Kreis: dem zugehörigen Leitkreis. Dieser Leitkreis gehört dem elliptischen Kreisbüschel aus den beiden anderen Brennpunkten an.
Brennpunkt und zugehöriger Leitkreis sind auch durch die oben beschriebene Zuordnung miteinander verknüpft: der Brennpunkt als Punktkreis wird durch die Zuordnung auf den Leitkreis abgebildet!
Diese Seite ist Teil des geogebra-books Kugel-Kegel-Schnitte (August 2018)