3. El problema de la cuerda vibrante
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Música y Matemáticas.
Parciales armónicos
Para entender el problema de la cuerda vibrante es necesaria la observación de su comportamiento. El sonido fundamental no es el único que emite la cuerda al vibrar. Simultáneamente, se producen otros sonidos (parciales) de menor intensidad. La distribución e intensidad de estos parciales (timbre) diferencian instrumentos o voces que ejecuten la misma nota.
En el caso de los instrumentos de cuerda y viento, las frecuencias de estos parciales son múltiplos de la frecuencia fundamental F. De estos múltiplos (armónicos), el primero es la propia frecuencia fundamental, el segundo el doble (2F), el tercer armónico el triple (3F), etc.
¿Por qué múltiplos exactos?
Al pulsar la cuerda se produce una onda transversal viajera, como una ola, que recorre la cuerda hasta los extremos, con una cierta amplitud (separación máxima respecto del punto de reposo). Allí, incapaz de continuar su propagación, se refleja. Esto ocasiona que dos ondas reflejadas en los extremos viajen una contra otra hasta superponerse en la cuerda.
La suma de estas dos ondas reflejadas es una onda longitudinal llamada onda estacionaria. Este nombre se debe a que, al superponerse, las ondas reflejadas parecen dejar de propagarse, convirtiéndose en una oscilación de la cuerda. Esta oscilación es la que se propagará al aire.
Cada onda reflejada habrá recorrido dos veces la longitud de la cuerda hasta encontrarse de nuevo en el extremo de partida. Así que la longitud de la onda estacionaria es el doble de la longitud de la cuerda. Ahora bien, al superponerse las dos ondas transversales para formar la onda estacionaria, podrán aparecer puntos (vientres) en donde las dos ondas coincidan en fase, así que la amplitud será el doble. También pueden aparecer puntos (nodos) en donde las ondas se encuentren desfasadas 180º, así que en ellos la amplitud será nula (no se mueven). Estos nodos actúan como extremos fijos de partes de la cuerda, por lo que la vibración de estas partes emitirá un sonido más agudo (con mayor frecuencia).
Para que los nodos aparezcan, tienen que estar distribuidos por igual a lo largo de la cuerda. Por lo tanto, las longitudes de esos trozos de cuerda tienen que ser divisores de la longitud total de la cuerda. Como la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud, se deduce que los nuevos sonidos tienen que tener como frecuencia un múltiplo de la frecuencia fundamental, es decir, tienen que ser armónicos.
El problema de la cuerda vibrante
Ahora bien, lo curioso es que la cuerda no varía alternativamente entre un armónico y otro, sino que emite todos los sonidos armónicos al mismo tiempo. He aquí el quid de la cuestión, causa de intriga y discusión entre los matemáticos: ¿cómo se las arregla la cuerda para vibrar de varias formas distintas a la vez?
D’Alembert, Daniel Bernoulli y Euler
El problema de la cuerda vibrante promueve la intensa búsqueda de una explicación. En esta búsqueda, d'Alembert muestra la solución general de la ecuación de onda como suma de dos funciones generales y periódicas.
Inmediatamente, surge una fuerte controversia entre la solución establecida por Taylor y la nueva de d’Alembert: ¿la solución es general o solo admite soluciones sinusoidales? Para echar más leña al fuego se meten por medio otros dos genios: Euler y Daniel Bernoulli, que no hacen sino aumentar la consciencia de la tremenda confusión que todos sentían.
En medio de esta polémica, Bernoulli encuentra la ecuación de cada armónico y, en consecuencia, demuestra la relación que ya había encontrado empíricamente Mersenne entre frecuencia, longitud de la cuerda, tensión y densidad. El segundo de los problemas había sido resuelto.
Otra consecuencia de la ecuación de Bernoulli es que la envolvente de las posiciones de la cuerda son dos parábolas.
