Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
Il perimetro di ogni poligono regolare inscritto è sempre minore del perimetro del poligono circoscritto corrispondente (con lo stesso numero di lati).
Aumentando il numero dei lati di un poligono regolare inscritto e del relativo poligono circoscritto, la differenza fra i loro perimetri diventa sempre più piccola.
Queste due caratteristiche vengono anche riassunte dicendo che le lunghezze dei poligoni inscritti e quelle dei poligoni circoscritti costituiscono due classi contigue. Per il postulato di continuità esiste sempre ed è unico l’elemento separatore di due classi contigue.
In altre parole, esiste una e una sola lunghezza che è maggiore di ognuno dei perimetri dei poligoni inscritti e minore di ognuno dei perimetri dei poligoni circoscritti. Gli elementi di questi due insiemi si avvicinano sempre di più a tale lunghezza, che tuttavia, pur separandoli, non appartiene né all’uno né all’altro.
Tale lunghezza viene chiamata lunghezza della circonferenza rettificata (o, in breve, lunghezza della circonferenza).
DEFINIZIONE
La lunghezza di una circonferenza è l’elemento separatore fra le classi contigue costituite dalle lunghezze dei perimetri dei poligoni regolari inscritti e da quelle dei perimetri dei poligoni regolari circoscritti alla circonferenza.
TEOREMA
Le misure delle lunghezze di due circonferenze sono proporzionali alle misure dei rispettivi raggi.
Questo teorema dice che il rapporto fra la misura della lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro, 2r, è costante. Questa costante, che viene indicata con il simbolo è un numero irrazionale, il cui valore approssimato è 3,141592.
C=2r
pi greco G10
DEFINIZIONE
L’area del cerchio è l’elemento separatore fra le classi contigue costituite dalle aree dei poligoni regolari inscritti e da quelle dei poligoni regolari circoscritti al cerchio.
TEOREMA
Un cerchio è equivalente a un triangolo che ha base congruente alla circonferenza rettificata e altezza congruente al raggio.
A=