Второй и третий признаки равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответсвенно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольник, то такие треугольники равны.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Из третьего признака равенства треуглльников следует, что треугольник - жесткая фигура. Поясним, что это означает. Представим себе две рейки, у которых концы скреплены гвоздем (см. рисунок). Такая конструкция не является жесткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем еще одну рейку и скрепим ее концы со свободными концами первых двух реек. Полученная конструкция - треугольник - будет уже жесткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т.е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников. Это свойство - жесткость треугольника - широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку; такой же принцип ипользуется при установке кронштейна.

127. В треугольниках и , , . На сторонах и отмечены точки и так, что . Докажите, что . 128. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны. 129. Отрезки и пересекаются в середине отрезка , . Докажите, что . 130. В треугольниках и отрезки и - медианы, , и . Докажите, что: a) ; б) . 131. В треугольниках и , и . Биссектрисы углов и пересекаются в точке , а биссектрисы углов и - в точке . Докажите, что . 132. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла , пересекает стороны угла в точках и . Докажите, что треугольник — равнобедренный. 133. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник — равнобедренный. 134. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника. 135. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.

2.3.1. Докажите признак равенства треугольников: если две стороны и проведенная к одной из них высота одного треугольника соответсвеенно равны двум сторонам и проведенной к одной из них высоте другого треугольника, то такие треугольники равны. 2.3.2. Докажите признак равенства треугольников: если две стороны и проведенная к одной из них медиана одного треугольника соответсвеенно равны двум сторонам и проведенной к одной из них медиане другого треугольника, то такие треугольники равны. 2.3.3. Докажите признак равенства треугольников: если две стороны и проведенная из третьего угла высота одного треугольника соответственно равны двум сторонам и проведенной из третьего угла высоте другого треугольника, то такие треугольники равны. 2.3.4. Докажите признак равенства треугольников: если сторона и две высоты, проведенные из углов, прилежащих к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне и двум высотам, проведенным из углов, прилежащихк этой стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны. 2.3.5. Докажите признак равенства треугольников: если две стороны и проведенная к третьей стороне высота одного треугольника соответственно равны двум сторонам и проведенной к третьей стороне высоте другого треугольника, то такие треугольники равны. 2.3.6. Докажите признак равенства треугольников: если сторона, один из углов, прилежащих к этой стороне и биссектриса, проведенная из этого угла одного треугольника соответственно равны стороне, одному из углов, прилежащих к этой стороне и биссектрисе, проведенной из этого угла другого треугольника, то таие треугольники равны. 2.3.7. Докажите признак равенства треугольников: если две высоты и угол, из которого проведена одна из высот, одного треугольника соответственно равны двум высотам и углу, из которого проведена одна из высот, другого треугольника, то такие треугольники равны.