2.3 Tangenten
Der Begriff Tangente sollte dir ebenfalls noch aus der Arbeit an Kreisen bekannt sein. In diesem Zusammenhang wird eine Tangente häufig als Gerade definiert, die den Kreis an nur einem Punkt berührt.
Die folgende Aufgabe zeigt, dass diese Definition für die Arbeit an Funktionsgraphen nicht geeignet ist.
Aufgabe 2.3.1:
Im folgenden GeoGebra-Applet kannst du die Tangente auf einer gestauchten Sinuskurve verschieben, indem du den Punkt bewegst.
a) Wie viele Punkte haben die Tangente und der Graph von gemeinsam, wenn sich im Ausgangszustand auf dem Koordinatenursprung befindet?
b) Könntest du genau zwei Schnittpunkte erzeugen, wenn du die Tangente präzise genug verschieben könntest? Was ist mit drei, vier, fünf oder beliebig vielen Schnittpunkten?
c) Wie viele Punkte haben die Tangente und der Graph von gemeinsam, wenn sich an der Stelle x=1 befindet?
d) Bewege den Punkt so an eine Stelle, dass die dargestellte Tangente auch eine Sekante ist. Schreibe die Koordinaten von und die vom weiteren Punkt der Sekante in dein Heft.
e) Bewege den Punkt so an eine Stelle, dass die dargestellte Tangente auch die Tangente eines anderen Punktes als ist. Schreibe die Koordinaten von und die vom anderen Punkt in dein Heft. Begründe in deinem Heft, wieso die Tangente in diesem Fall auch eine Sekante ist.
Statt eine Tangente als Gerade zu definieren, die den Funktionsgraphen an nur einem Punkt berührt, eignet es sich, eine Tangente an einem Punkt als Gerade zu definieren, die sich dem Graphen am Punkt anschmiegt. Das bedeutet, dass Graph und Tangente scheinbar aufeinander liegen, wenn man nah genug heranzoomt.
Aufgabe 2.3.2:
Im folgenden GeoGebra-Applet kannst du den Punkt und damit den Graphen von im rechten Fenster heranzoomen, indem du h am Schieberegler verkleinerst. Dabei kannst du beobachten, dass der Graph immer geradliniger wird je näher du heranzoomst. Zoomst du nah genug heran, scheint der Graph linear zu sein und lässt sich nicht mehr von der Tangente durch den Punkt unterscheiden.
Beobachte die Veränderungen durch das Heranzoomen an verschiedenen Stellen von , indem du am Graphen entlang verschiebst.
Schreibe deine Beobachtungen in dein Heft.
Aufgabe 2.3.3:
Versuche den Graphen durch Heranzoomen (indem du h am Schieberegler verkleinerst) an den Koordinatenursprung geradlinig zu machen.
Was stellst du dabei fest und wieso verschwindet die Tangente, wenn du auf den Koordinatenursprung schiebst?
Schreibe deine Beobachtungen in dein Heft.
Lösungen: