Polynôme de degré 3 qui interpole 2^n !
Polynôme de degré 3 qui interpole 2^n !
coïncide avec pour n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 !
J'ai découvert cet étonnant phénomène en résolvant le problème suivant :
“Pour tout entier n >= 1, on place n points sur un cercle de sorte que l'ensemble des segments les reliant deux à deux ne possède aucun point d'intersection multiple.
Déterminer le nombre r(n) de régions du disque ainsi obtenues.”
On obtient les premiers termes : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16.
Ce qui suggère fortement la conjecture : .
Sauf que r(6) = 31 !?!
En cherchant une relation de récurrence vérifiée par r(n), j'obtiens que r(n+2) - r(n+1) est égal à la suite u(n), qui coïncide avec v(n) pour n = 1 ; 2 ; 3 ; 4... Mais pas 5 !
Remarque
Le polynôme u(x) est de degré 3 et interpole la fonction v(x) en 4 points donc c'est simplement le polynôme de Lagrange !
Le caractère remarquable de ce phénomène tient donc seulement au contexte combinatoire dans lequel il apparaît et bien sûr à la conjecture exponentielle fallacieuse qu'on est tenté de faire au vu des cinq premiers termes.
Digression
La coïncidence presque parfaite des deux courbes sur l'intervalle [1 ; 4] implique que pour tout rationnel p/q (non entier) entre 1 et 4, u(p/q) est une excellente approximation rationnelle (car u polynôme à coefficients rationnels) du nombre v(p/q) qui, lui, est irrationnel !
En effet, par l'absurde, irréductible impliquerait . Donc a pair, , k impair et b impair, donc p = nq c'est-à-dire p/q entier : contradiction.
(En fait, l'analyse numérique montre que l'erreur u(x) - v(x) est > 0 pour x dans ]1 ; 2[ U ]3 ; 4[ et < 0 pour x dans ]2 ; 3[ et surtout qu'elle varie, en valeur absolue, entre 0 (pour x entier) et environ 0,07, ce qui n'est pas si excellent, mais graphiquement, ça reste assez troublant.)
Ce phénomène d'approximation d'irrationnels par des rationnels me rappelle notamment la suite de Héron, dont tous les termes sont rationnels et qui converge vers .
Mais en fait les occurrences de ce phénomène sont innombrables ! On peut par exemple aller regarder du côté des séries entières de fonctions irrationnelles comme la racine n-ème, voire transcendantes comme exp, ln, Arctan, etc., dont toutes les sommes partielles sont rationnelles si x l'est.
Ou encore l'approximation de par la méthode des rectangles. Etc. !