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Il grafico della funzione logaritmo

Autore:Elena Bertola
La funzione inversa di una funzione , se esiste, è la funzione indicata con . Affinché l'inversa esista è necessario che la funzione sia invertibile, cioè:
  • iniettiva: ciascuna retta orizzontale interseca il grafico di in al massimo un punto
  • suriettiva: ciascuna retta orizzontale interseca il grafico di in almeno un punto
Ti ricordi come trovavamo la funzione inversa della funzione :
  1.  Il primo step è trasformare, con passaggi algebrici, l'espressione della funzione y = f(x) in un'espressione del tipo

    x = qualcosa dipendente da (y)

  2. Il secondo step è rinominare x e y, l'una diventa l'altra.
Se i passaggi sono giusti, allora quest'ultima è proprio l'espressione della funzione inversa. Finito!

Calcola l'espressione di funzione inversa di

f(x)=y=3x+2

Controlla la mia risposta

Traccia i grafici di f e della sua inversa appena trovata.

Noti qualche simmetria tra i grafici delle due funzioni?

Calcola l'espressione di funzione inversa di

f(x)=y=

Controlla la mia risposta

Traccia i grafici di f e della sua inversa appena trovata.

Noti qualche simmetria tra i grafici delle due funzioni?

Calcola l'espressione di funzione inversa di

f(x)=

Traccia i grafici di f e della sua inversa appena trovata.

Noti qualche simmetria tra i grafici delle due funzioni?

Se abbiamo tracciato il grafico di una funzione f e siamo di fronte ad una funzione invertibile, il grafico dell'inversa è il simmetrico del grafico della funzione f rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante y=x. Per questo motivo, se abbiamo il grafico di una funzione e ci siamo assicurati che è invertibile, ci basta disegnare la bisettrice del primo e terzo quadrante e ricavare il simmetrico del grafico rispetto a tale retta. Quello ottenuto sarà il grafico della funzione inversa.
Consideriamo la funzione esponenziale

Se voglio trovarne la funzione inversa devo scrivere x in funzione di y, ma x è il numero a cui elevo a per ottenere y, no? Allora

Vero? Rinomino per ottenere la funzione inversa:

Domanda:

  1. Quali sono le C.E. sulla a per entrambe le funzioni?
  2. La funzione esponenziale che dominio ha (x ammesse)?
  3. La funzione esponenziale che insieme immagine ha (y realizzate)?

Traccia il grafico della funzione logaritmo con a>1 seguendo le istruzioni. 1) Traccia nel piano cartesiano qui sotto la funzione esponenziale

creando uno slider sul valore di a tale che sia a>1. 2) Traccia la retta y=x. 3) Usa lo strumento GeoGebra "Simmetria assiale" (terzultimo pulsante) per tracciare il simmetrico della funzione esponenziale rispetto alla bisettrice primo e terzo quadrante. 4) Hai trovato il grafico simmetrico a quello della funzione esponenziale rispetto a y=x. Per quanto abbiamo detto è il grafico della funzione inversa della funzione esponenziale, cioè è il grafico della funzione logaritmo. 

Rispondi alle seguenti domande variando il valore di a con lo slider

  1. Dal grafico della funzione, qual è il dominio della funzione logaritmo?
  2. Dal punto di vista analitico, ha senso che il dominio della funzione sia quello che hai dedotto graficamente? Perché?
  3. Qual è l'insieme immagine?
  4. E' una funzione pari o dispari?
  5. Quali sono le intersezioni con gli assi cartesiani?
  6. Per quali valori di x la funzione assume valori positivi?
  7. Riesci a individuare degli asintoti, cioè rette a cui la funzione si avvicina sempre più senza intersecarle mai?
  8. E' una funzione crescente o decrescente?

Ripeti il procedimento e traccia il grafico della funzione logaritmo questa volta con base 0<a<1 seguendo le istruzioni. 1) Traccia nel piano cartesiano qui sotto la funzione esponenziale

creando uno slider sul valore di a tale che sia 0<a<1. 2) Traccia la retta y=x. 3) Usa lo strumento GeoGebra "Simmetria assiale" (terzultimo pulsante) per tracciare il simmetrico della funzione esponenziale rispetto alla bisettrice primo e terzo quadrante. 4) Hai trovato il grafico simmetrico a quello della funzione esponenziale rispetto a y=x. Per quanto abbiamo detto è il grafico della funzione inversa della funzione esponenziale, cioè è il grafico della funzione logaritmo. 

Rispondi alle seguenti domande variando il valore di a con lo slider

  1. Dal grafico della funzione, qual è il dominio della funzione logaritmo?
  2. Dal punto di vista analitico, ha senso che il dominio della funzione sia quello che hai dedotto graficamente? Perché?
  3. Qual è l'insieme immagine?
  4. E' una funzione pari o dispari?
  5. Quali sono le intersezioni con gli assi cartesiani?
  6. Per quali valori di x la funzione assume valori positivi?
  7. Riesci a individuare degli asintoti, cioè rette a cui la funzione si avvicina sempre più senza intersecarle mai?
  8. E' una funzione crescente o decrescente?

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