Multiplicação por escalar
INTRODUÇÃO
O objetivo desta atividade é ampliar a compreensão sobre a operação de multiplicação de um vetor por um escalar. Usaremos aqui o termo escalar como sinônimo de número real. Os escalares serão representados por letras gregas como α e β. Já os vetores são entes matemáticos providos de módulo, direção e sentido e serão representados aqui por letras minúsculas do alfabeto latino como u, v e w. Quando no corpo do texto, o nome dos vetores aparecerá em negrito.
COORDENADAS DE UM VETOR
Um vetor é representado geometricamente por meio de uma seta, mas, algebricamente, um vetor é representado por meio de suas coordenadas, que são um par ordenado de números reais, caso seja um vetor do plano, ou uma terna ordenada, caso seja um vetor do espaço.
Construção 1
Questão 1
Na Construção 1, movimente os pontos pretos para modificar as coordenadas do vetor vermelho v. Qual a relação entre as coordenadas de v e o comprimento de suas projeções ortogonais sobre os eixos x e y, representadas pelos vetores azul e verde, respectivamente?
Construção 2
Questão 2
Na Construção 2, clique sobre o vetor v e arraste-o pra diferentes posições. A seguir, clique sobre um dos pontos A ou B e movimente-os também.
(a) Quando você arrastou o vetor v (sem clicar nos pontos), as coordenadas dele foram alteradas? Por que você acha que isso aconteceu?
(b) Quando você moveu os pontos A e B, as coordenadas do vetor v foram alteradas? Por que você acha que isso aconteceu?
(c) Como as coordenadas do vetor v podem ser obtidas a partir das coordenadas de sua origem A e de sua extremidade B?
(d) Em que situação as coordenadas do vetor v coincidem com as coordenadas de sua extremidade B?
MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR
Na Construção 3 você pode modificar a aparência (módulo, direção e sentido) do vetor u manipulando-o a partir de sua extremidade. Contudo, o vetor v está definido de modo que v = αu. Assim, embora possa ser movido para qualquer posição do plano, sua aparência depende do vetor u e do valor do escalar α. Nessa construção você pode observar também os valores das coordenadas dos vetores u e v, bem como os módulos, isto é, o comprimento destes vetores, representados por |u| e |v|.
Construção 3
Questão 3
Na Construção 3, manipule o controle deslizante para alterar o valor de α e responder as perguntas abaixo:
(a) A direção do vetor v é sempre a mesma do vetor u quando você altera o valor de α? E se você alterar o vetor u manipulando sua extremidade ou sua origem?
(b) O sentido dos vetores u e v é sempre o mesmo? Se não, em que situações esse sentido é invertido?
(c) O que acontece quando α = 0?
(d) O que acontece quando α = 1?
(e) O que acontece quando α = -1?
(f) Para que valores de α o vetor v é menor que o vetor u?
Questão 4
Ainda com base na Construção 3, responda as perguntas abaixo.
(a) Como é possível obter o valor do módulo do vetor v a partir do valor de α e do módulo do vetor u?
(b) Como é possível obter as coordenadas do vetor v =(a, b) a partir do valor de α e das coordenadas do vetor u = (c, d)?