1111 Egy kör adott egyenesre merőleges érintői
A feladat:
Legyen adott a P-modellen egy s kör ( P középpontjával és egykerületi pontjával), valamint egy a egyenes! Szerkesszük meg az a-ra merőleges, az s kört érintő egyeneseket!
Elemzés:
Ez a feladat az euklideszi geometriában – ahol a P ponton át csak egy a-val párhuzamos egyenes húzható,
semmi nehézséget nem okozna. Most viszont a feladat bonyolultsága indokolja, hogy a klasszikus Pólya féle gondolatmenetet követve először tekintsük megoldottnak a feladatot.
Vegyük fel az adott s kör egy tetszőleges EA pontjába húzott ea érintőjét, ezen egy tetszőleges A pontot, majd azt az A-ra illeszkedő, ea -ra merőleges a egyenest, amely majd a szerkesztésünk másik adata lesz.
Legyen T a kör középpontjának az a-ra eső merőleges vetülete.
Bolyai szerkesztését felidézve könnyen észrevehetjük, hogy egy Lambert-négyszöget szerkesztettünk: a PEAAT négyszögnek három szöge derékszög.
Tekintsük megoldottnak a feladatot:
Megoldás:
Jelen esetben először a P kör középpont a-ra eső merőleges vetületét, T-t , majd az s kör és az adott a egyenessel aszimptotikusan párhuzamos [P,V1) félegyenes metszéspontjaként kapott A0 pontot kell megszerkesztenünk. Ennek a (PT)-re eső merőleges vetülete legyen T0 !
Innen két irányban folytatható a szerkesztés:
- Az s kör kör és a [PV0) félegyenes metszéspontjaként kapjuk meg az EA érintési pontot, ahol V0 az (A0T0) egyenes végtelen távoli pontja. Ekkor meg kell mutatnunk, hogy az s körhöz EA pontba húzott eA éritnő merőleges a-ra.
- Legyen A az A0 pontnak a T0T szakasz felező merőlegesére vonatkozó tükörképe, eA az A-ból a-ra bocsátott merőleges! Ekkor azt kell megmutatnunk, hogy eA érinti az s kört, vagyis P-nek az eA-ra eső merőleges vetülete illeszkedik az s körre.
Szerkesztés:
Mint tudjuk a HKör() saját eljárás arra is alkalmas, hogy kör helyett paraciklust rajzoljunk, amennyiben a kör középpontja végtelen távoli pont.
A fenti eljárás paraciklusra nem alkalmazható. Viszont elkövettünk egy kegyes (??) csalást: a kör középpontját az O=BelsőPont(Kör((0,0),9.999)) utasítással megadva gondoskodtunk arról, hogy az adott kör ne váljék paraciklussá, csak - látszólag jól - közelítse azt meg. Ezúttal kérünk elnézést olvasóinktól.
Ugyanezt a galádságot itt, ebben a szerkesztésben szintén elkövettük. Mentségünkre szolgál, hogy ezek a paraciklusokra vonatkozó szerkesztések korrekt adatokkal külön, önállóan elvégezhetők. Ezt a feladatot igényesebb olvasóinkra bízzuk.