Sinus- und Kosinusfunktion
Sinus- und Kosinusfunktion
Sinus sin(x) und Kosinus cos(x) ordnen jedem Winkel x einen eindeutigen Wert zu (dem eines Seitenverhältnisses im rechtwinkligen Dreieck).
Da diese Zuordnung eindeutig ist, kann sie auch als Funktion aufgefasst werden:
die Sinusfunktion bzw. Kosinusfunktion.
Wie sehen die Graphen dieser beiden Funktionen aus? Welche Eigenschaften besitzen sie?
Mithilfe des Uhrzeigers, der mit seiner Spitze das Ziffernblatt (Einheitskreis) gegen den Uhrzeigersinn und damit die Winkel im Bogenmaß abläuft, können wir uns den Verlauf der beiden Funktionsgraphen überlegen.
Wie sehen die Graphen dieser beiden Funktionen aus? Welche Eigenschaften besitzen sie?
Mithilfe des Uhrzeigers, der mit seiner Spitze das Ziffernblatt (Einheitskreis) gegen den Uhrzeigersinn und damit die Winkel im Bogenmaß abläuft, können wir uns den Verlauf der beiden Funktionsgraphen überlegen.
Die Sinusfunktion
Zuerst untersuchen wir die Sinusfunktion im Intervall [0;2].
Betätige den Schieberegler für den Winkel von 0° bis 360°.
Beobachte genau, was dabei passiert.
Wie genau entsteht nun aus den Überlegungen am Einheitskreis die Sinusfunktion?
Tausche dich mit deinem Sitznachbarn aus und erklärt euch das Vorgehen.
Als Hilfe dient dir nachfolgende Grafik.
Der Sinuswert zum Winkel gibt ... der Zeigerspitze an:
Stelle für den Winkel /3, also 60°, ein.
Trage im KOSY (Koordinatensystem) den Winkel =/3 (60°), den der Zeiger überstrichen hat, auf der x-Achse und sin(x) auf der y-Achse ab.
Benutze dieselben Farben wie in der Grafik, d. h. blau für den Sinus.
Übertrage nun die Sinusfunktion im Intervall [0;2] in das KOSY auf dem AB.
Die Kosinusfunktion
Nun untersuchen wir die Kosinusfunktion im Intervall [0;2].
Betätige den Schieberegler für den Winkel von 0° bis 360°.
Beobachte genau, was dabei passiert.
Wie bei der Sinusfunktion wird die Einheitskreislinie sozusagen "abgewickelt".
Der Kosinuswert zum Winkel gibt ... der Zeigerspitze an:
Stelle für den Winkel /3, also 60°, ein.
Trage im KOSY den Winkel =/3 (60°), den der Zeiger überstrichen hat, auf der x-Achse und cos(x) auf der y-Achse ab.
Benutze dieselben Farben wie in der Grafik, d. h. rot für den Kosinus.
Übertrage nun die Kosinusfunktion im Intervall [0;2] in das KOSY auf dem AB.
Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion
Jetzt kennst du den Verlauf der beiden Funktionsgraphen, zumindest im Intervall [0; 2].
Wie werden die Graphen über das Intervall hinaus weiterverlaufen?
Hast du bereits eine Vermutung?
Betätige den Schieberegler für den Winkel .
Beobachte, wie die Graphen für den Winkel mit Bogenmaß <0 bzw. mit Bogenmaß >2 verlaufen.
Was fällt dir auf?
Fällt dir auf, dass sich ein Teilstück der Funktionsgraphen immer wieder wiederholt?
Solche Funktionen nennt man daher periodische Funktionen.
Mit der Periodenlänge wird die Länge (im Bogenmaß) dieses sich immer wiederholenden Teilstücks angegeben.
Wie groß ist die Periodenlänge (= Periode) der Sinus- bzw. Kosinusfunktion?
Die Periodenlänge p der Sinusfunktion beträgt ...
Die Periodenlänge p der Kosinusfunktion beträgt ...
Schaue dir auf dem AB die Definitionen zu den beiden Funktionen an und fülle die Lücken aus.
Betrachte die beiden gezeichneten Funktionsgraphen. Was fällt dir bezüglich Symmetrie auf?
Gibt es Unterschiede zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion?
Der Graph der Sinusfunktion ist...
Der Graph der Kosinusfunktion ist...
Lies jeweils zwei Nullstellen der Graphen ab und notiere sie in der Tabelle auf dem AB.
Für Schnelle: Wo liegen alle weiteren Nullstellen?
Stelle ausgehend von den beiden aufgeschriebenen Nullstellen und dem Verlauf des Graphens eine Vermutung auf, wie eine allgemein gültige Formel zur Bestimmung der Nullstellen bei der Sinus- und Kosinusfunktion aussehen könnte.
Überprüfe, ob deine Formel stimmt, indem du Werte in deine Formel einsetzt und die Nullstellen anhand folgender Grafik überprüfst:
