14. การเชื่อมโยงระหว่าง DGS และ CAS (2) (Version 2)
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้นิสิตครูสามารถใช้การเชื่อมโยงระหว่างเครื่องมือเรขาคณิตพลวัต และระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ในการเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้
1. ตัวอย่างการประยุกต์การเขียนกราฟแบบพลวัต: พาราโบลา
บทนิยามของพาราโบลา :
พาราโบลา คือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงที่เส้นหนึ่งบนระนาบและจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบนอกเส้นตรงคงที่นั้น เป็นระยะทางเท่ากับเสมอ
ส่วนประกอบของพาราโบลา ได้แก่
- เส้นคงที่ เรียกว่า ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา
- จุดคงที่ (F) เรียกว่า โฟกัสของพาราโบลา
พิจารณาการเขียนกราฟพาราโบลาจากบทนิยามจาก Task 1 ต่อไปนี้
Task 1:
1) สร้างสไลเดอร์ k ให้เป็นจำนวนจริง มีค่าตั้งแต่ -5 ถึง 5
2) ให้เส้นตรง f เป็นกราฟของสมการ y = k
3) สร้างจุด A เป็นจุดบนเส้นตรง f
4) สร้างเส้นตรง g ซึ่งเป็นเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง f ที่จุด A
5) สร้างจุด F เป็นอ็อบเจกต์อิสระ (ไม่อยู่บนเส้นตรงใด ๆ)
6) ลาก
7) สร้างเส้นตรง i ซึ่งเป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับ
8) ให้ P เป็นจุดตัดของเส้นตรง g กับเส้นตรง i
9) ลาก และ แล้วซ่อนเส้นตรง g และเส้นตรง i
10) วัดความยาวของ และ
11) คลิกขวาที่จุด P แล้วกด Show Trace เพื่อสร้างรอย
12) เลื่อนจุด A สังเกตรอยของจุด P แล้วตอบคำถาม Task 2
หมายเหตุ : รอยสามารถลบได้ โดยการคลิกเมนู Settings และสามารถยกเลิกการสร้างรอยได้โดยการคลิกขวาที่อ็อบเจกต์ที่ได้สร้างรอย เลือก Show Trace ออก)
2. ตัวอย่างการประยุกต์การเขียนกราฟแบบพลวัต: กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย
Task 2
ให้ทำกิจกรรมดังต่อไปนี้
1) สร้างวงกลม c เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางเป็นจุดกำเนิด และมีความยาวของรัศมีเท่ากับ 1 หน่วย
2) กำหนดจุด A มีพิกัดเป็น (1, 0)
3) สร้างจุด P เป็นจุดบนวงกลม c
4) สร้างส่วนโค้ง d ซึ่งเป็นส่วนโค้งบนวงกลม c จากจุด A ไปยังจุด P ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
5) ให้ input :=length(d) เพื่อนำความยาวของส่วนโค้ง d แทนลงในตัวแปร
หมายเหตุ : ตัวอักษรกรีก สามารถพิมพ์ได้โดยการกด Alt + <ตัวอักษรภาษาอังกฤษ>
ในกรณีอักษร (theta) นี้ ให้กดแป้นพิมพ์ Alt + t
6) ให้ input Y:=sin() (ใช้ตัว Y พิมพ์ใหญ่)
7) ให้ input Q:=(,Y)
8) เลื่อนจุด P สังเกตรอยเดินของกราฟ Q ที่เกิดขึ้น
9) สร้างรอยเดินทั้งหมดของจุด Q ซึ่งเกิดจากค่าต่าง ๆ บนวงกลมหนึ่งหน่วย (จุด P) โดยใช้ โลคัส ดังนี้
(1) คลิกปุ่ม 
เลือก Locus
(2) เลือกจุด P ตามด้วยจุด Q จะได้รอยเดินที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจุด Q เมื่อเกิดจากจุด P
เลือก Locus
(2) เลือกจุด P ตามด้วยจุด Q จะได้รอยเดินที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจุด Q เมื่อเกิดจากจุด PTask 3: การประยุกต์การเขียนกราฟแบบพลวัต: วงรี
ให้เขียนกราฟของวงรีจากบทนิยามของวงรีดังต่อไปนี้
บทนิยามของวงรี
วงรี (ellipse) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยู่กับที่มีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวนี้มีค่ามากกว่าระยะห่างระหว่างจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสอง จุดสองจุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่า โฟกัส (focus) ของวงรี
วิธีการเขียนกราฟวงรีในโปรแกรม GeoGebra โดยใช้แนวคิดจากบทนิยาม
1. สร้างส่วนของเส้นตรง AB
2. สร้างจุด C บนส่วนของเส้นตรง AB
3. สร้างวงกลมที่มี A เป็นจุดศูนย์กลาง และมีรัศมีเท่ากับ AB
4. สร้างจุด D บนวงกลมในข้อ 3
5. ลาก และ
6. สร้างเส้นตรง l ซึ่งเป็นเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ
7. ให้เส้นตรง l ตัดกับ ที่จุด E
8. สร้างรอยจุด E เลื่อนจุด D สำรวจผลที่เกิดขึ้น
เพราะเหตุใดจุด E ที่ได้จากการสร้างข้างต้นถึงเป็นจุดบนวงรี?
Task 4: การประยุกต์การเขียนกราฟแบบพลวัต: ไฮเพอร์โบลา
ให้เขียนกราฟของไฮเพอร์โบลาโดยใช้แนวทางจาก Task 3 และบทนิยามของไฮเพอร์โบลาดังนี้
บทนิยามของไฮเพอร์โบลา
ไฮเพอร์โบลา (hyperbola) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยู่กับที่มีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวน้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสอง จุด F1 และ F2 ดังกล่าวนี้เรียกว่า โฟกัส ของไฮเพอร์โบลา
Task 5: การประยุกต์การเขียนกราฟแบบพลวัต: กราฟของฟังก์ชันโคไซน์โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย
ให้เขียนกราฟแบบพลวัตของฟังก์ชัน โดยที่ โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วยใน Applet ด้านล่างนี้ ตามแนวทางใน Task 2