paraboolsegment - berekening 2
gedurfd en ongezien
Archimedes berekent de oppervlakte van een paraboolsegment op een gedurfde en ongeziene manier:
- Hij verplaatst objecten en ziet ze als gewichten in evenwicht op een balans.
- Hij maakt de de sprong van een lijnstuk naar een oppervlakte en loopt hiermee vooruit op de aanpak van de integraalrekening om oppervlaktes te berekenen als de som van oneindig kleine rechthoekjes.
De redenering van Archimedes.
De stappen in Archimedes' redenering worden telkens geïllustreerd in onderstaand applet.
- Een paraboolsegment wordt bepaald door de parabool ABC en het lijnstuk [AC].
- [BD] is de symmetrieas van de parabool. Voeg enkele elementen toe: - een raaklijn in C aan de parabool en een evenwijdige door A aan de symmetrieas BD (Beide lijnen snijden elkaar in Z zodat het paraboolsegment omsloten wordt door de driehoek ACZ.) - verleng [BD] tot E en [CB] tot K. K is het midden van [AZ] zodat ACK = ACZ. B is het midden van [KC] zodat ABC = ACK = ACZ. De grote driehoek ACZ is dus 4 keer zo groot als de kleine driehoek ABC.
- Teken een willekeurig lijnstuk [MX] // [BD]. Hoe je X ook versleept, er geldt steeds: (1) Bepaal N, het snijpunt van [MX] en [CK]. Omdat AZ // XM geldt ook (2) zodat uit (1) en (2) samen volgt: (3)
- Trek de rechte BC door tot het punt T zodat K het midden is van [TC].
- Verplaats [OX] naar [SH] zodat T het midden is van [SH] of m.a.w. |TK| = |KC|. In (3) kan je dus |KC| vervangen door |TK| en krijg je (4) Omdat |OX| = |SH| kan je (4) herschrijven als (5)
- Na het 'verplaatsen' van het lijnstuk [OX] maakt Archimedes nog een radicalere gedachtesprong: Hij stelt de lijnstukken [MX] en [SH] voor als objecten op de armen van een balans met draaipunt K. Je leest (5) dan als: De gewichtsverhouding van [MX] en [SH] is omgekeerd evenredig aan de verhouding van hun afstanden tot het draaipunt K.
- 8. Deze verhouding geldt voor elke ligging van [MX], hoe je X ook verschuift. Hieruit kan je in enkele stappen redeneren van een lijnstuk naar een driehoek - Elke parallel binnen ACZ houdt zijn bijhorende doorsnede met het paraboolsegment (geplaatst in T) in evenwicht rond K. - Alle parallellen binnen ACZ samen zijn in evenwicht met al hun doorsneden met het paraboolsegment (in T) rond K, of nog: - De driehoek ACZ is in evenwicht met het paraboolsegment ABC (in T) rond K. Lijnstukjes worden a.h.w. opgeteld om te vinden dat een driehoek in evenwicht is met de parabool.
- Archimedes vond eerder al dat het op 1/3 van de zwaartelijn, m.a.w. op 1/3 van [KC].
- Omdat K het midden is van [TC] is 1/3 . |KC| = 1/3 . |KT|.
- Het paraboolsegment ABC ligt 3 keer zo ver van K als ACZ, dus ACZ is 3 keer zo zwaar als het paraboolsegment ABC : ACZ = 3 . ABC (6)
- Nu is ACZ = 4 . ABC, zodat 4 . ACZ = 3 . ABC en uiteindelijk 4/3 ACZ = ABC in woorden: Een paraboolsegment is 4/3 van de driehoek die het omsluit.
Waarom?
Waarom berekent Archimedes deze verhouding?
Wel, hij denkt, zoals vaker, vooruit en gaat de elders nog gebruiken waar je het al helemaal niet zou verwachten. Bij het berekenen van een cilindersegment (een stuk cilinder, afgesneden door een schuin vlak) zal Archimedes plots tevoorschijn halen als een deus ex machina.